Morgan Stanley

Ford

tárhely.eu

HVG

pixabay.com

Forbes












kislexikon - matek tankönyv:   egyenletek - algebra - függvények - számhalmazok - számrendszerek
halmazok - kombinatorika - differenciálhányados - integrálszámítás - g
feladatok - megoldások - matekjelek
............................................................................... ............................................................................... vissza a diák oldalra
............................................................................... ............................................................................... vissza a kezdőlapra

Matematika











Matematika TAnkönyv



Egyenletek


Tartalom: egyenletek - elmélet - feladatok - megoldások

Az egyenleteknél, amikor még egy szó sem hangzott el az órán, az első reakció az szokott lenni, hogy: "nem értem." Erre még rá is erősít néhány tanár azzal, hogy: "a matekra születni kell."
Pedig az egyenletmegoldásoknál mindjárt látni fogjuk, hogy "érteni" csak azoknak a tudósoknak kellett, akik ezeket kidolgozták, gimnáziumi szintig elég csak megtanulni néhány "trükköt" és egy kis gyakorlás után "szinte" már "mechanikusan" lehet megoldani a példákat:

Lássuk mindjárt az első példánkat:

x = 3

Itt mindjárt az első megtanulandó "trükk": amiről nem tudom, hogy mennyi az értéke arra (mindenféle gondolkodás, túlbonyolítás nélkül) rámondom, hogy x (azaz nem ismert, ismeretlen)
Az árus a piacon - amikor a vevő összeszedte a vásárolandó árut - azt mondja, - nem tudom, hogy mennyi, ezért az árut ráteszi a mérlege bal oldalára. A mérleg jobb oldalára pedig elkezdi rakni a súlyokat, és amikor rátett (pl:) három kilós súlyt, és a mérleg egyensúlyba került, mindjárt mondja is a vevőnek, hogy - az eddig ismeretlen súlyú áruja - 3 kg súlyú.
Ezt a "mérlegelvet" használjuk az egyenleteink megoldásánál is. Tehát x = 3 egyenlőség (az "az" jel) két (bal, és jobb) oldalán szereplő mennyiségek megegyeznek. Így ilyen egyszerű esetben egyszerűen leolvashatjuk, hogy az x (az ismeretlen) értéke 3 (azaz 3 = 3).

Példa:
x + 7 = 12
Ez a példa az előző (x = 3) egyenlettől abban tér el, hogy az x mellett egy szám is van, s ezért nem tudjuk leolvasni az x értékét. Egyszerűen adja magát a megoldás; azt a hetest el kell tüntetnünk az x mellől. Tudjuk, hogy ha valamihez 0-át adunk, akkor az értéke nem változik 5 + 0 = 5 Ugyanígy van ez az x-szel is (mivel ez is egy konkrét szám, csak még nem tudjuk, hogy melyik) x + 0 = x Azaz el kell érnünk, hogy a hetes helyett nulla legyen mellette. De ezt könnyen elérhetjük, hiszen 7 - 7 = 0
Tehát az egyenlet bal oldala, így fog kinézni:
x + 7 - 7
x + 0 (mert 7 - 7 = 0)
x (a nullát nem szoktuk kiírni összeadásnál, így máris elértük a célunkat: egyedül van az x)
De még nem vagyunk kész, hiszen a "mérleg" bal oldali "serpenyőjéből" elvettünk hetet, így kibillent a mérlegünk. Hogy visszaálljon az egyensúly, ugyanezt kell tennünk a jobb oldalon is (onnan is ki kell vonni hetet):
12 - 7
5 (12 - 7 = 5)
A két oldalt együtt nézve:
x + 7 = 12 /-7
(a megegyezés szerint egy /-jel mellé írjuk azt, amit mind a két oldallal csinálunk)
x + 7 - 7 = 12 - 7
x + 0 = 5 (a nullát nem írjuk ki összeadásnál)
x = 5
Eredményül ötöt kaptunk. (ezt az utolsó sorról leolvashatjuk)
Ellenőrzés
Ez behelyettesítéssel történik (x helyére a kiinduló egyenletbe beírjuk a kapott 5-ös értéket)
x + 7 = 12 (behelyettesítem az 5-öt)
5 + 7 = 12
12 = 12
(Ez igaz, tehát jól oldottuk meg a feladatot)

Látjuk, hogy az egyenlet "magától" megmondta az x (az ismeretlen) értékét (=5)
Mindig ezt a "trükköt" alkalmazzuk az x melletti szám eltüntetésére.

A feladatot a mérlegelv segítségével oldottuk meg, amelynek az a lényege; hogy ha mind a két oldallal ugyanazt csináljuk (pl: mind a két oldalból kivonunk hetet), akkor az egyenlőség fennmarad, nem változik meg.

Példa
x - 8 = 2
Most x mellett kivonás szerepel, és ezt megint el szeretnénk tüntetni az x mellől. Az előző példához hasonlóan (csak most hozzá kell adnunk 8-at) -8 + 8 = 0
Tehát a megoldás:
x - 8 = 2      /+ 8
(x - 8 + 8 = 2 + 8)
(x + 0 = 10)
x = 10
A második és a harmadik sort - ha már van egy kis gyakorlatunk, akkor el tudjuk hagyni (és el is szokás hagyni, ezeket fejben végezzük el)
Ellenőrzés
A kiindulási egyenletbe x helyére behelyettesítem a megoldásul kapott 10-es értéket.
x - 8 = 2
10 - 8 = 2
2 = 2   Ez igaz, tehát megint jól oldottuk meg a feladatot.

Példa
3x = 15
Most már tudjuk, hogy az lenne a célunk, hogy x itt is egyedül maradjon, azaz eltűnjön előle a 3-as szorzó.
Azt tudjuk, hogy 1 · 8 = 8 (az egyes szorzót nem szokás kiírni).
Mivel x is egy konkrét szám (csak nem tudjuk, hogy melyik) ezért rá is igaz, hogy
1 · x = x
És azt is mindenki tudja, hogy 3/3 = 1 (három osztva hárommal az egy.)
Tehát minden ilyen típusú feladat megoldása a következő:
3x = 15      /:3
(3/3 · x = 15/3)
(1 · x = 5)
x = 5
(A zárójeles sorokat illik fejben elvégezni)
Ellenőrzés
3x = 15
3 · 5 = 15
15 = 15
Tehát megint jól oldottuk meg a feladatunkat.

Példa
x/4 = 1 (x osztva néggyel az egy)
Az előző típusfeladatban használt trükköt (szorzásra, osztásra) használjuk megint (1/4 · 4 = 4/4 = 1)
x/4 = 1      /· 4
(x · 4/4 = 1 · 4)
(x · 1 = 4)
x = 4
(Zárójelbe tett sorokat illik fejben elvégezni)
Ellenőrzés
x/4 = 1 (x helyére behelyettesítem a kapott értéket)
4/4 = 1
1 = 1  Ez megint igaz, jó a megoldásunk.

Nézzünk egy első ránézésre ijesztőbbnek tűnő egyenletet:
Példa
x + 3x + 2x = 18
Persze ha itt az x helyén kutyusok lennének, mindenki egyből rávágná, hogy 1 kutyus + 3 kutyus + 2 kutyus = 6 kutyus.
De hát az x-eket is ugyanígy összeszámolhatjuk egy x + három x + két x = hat x:
(1x + 3x + 2x = 18 az x elé az egyes szorzót nem szokás kiírni)
x + 3x + 2 x = 18
(6x = 18   Tehát ez igazából egy nagyon egyszerű feladat)
6x = 18      /:6
(6/6 · x = 18/6)
(1 · x = 3)
x = 3
Ellenőrzés
x + 3x + 2x = 18
(3 + 3 · 3 + 2 · 3 = 18)
3 + 9 + 6 = 18
18 = 18

Bonyolultabbnak tűnő egyenleteknél
2x + 1 = 11
az előzőekben tanultak szerint járunk el, csak két lépésben:
-először az alacsonyabb szintű műveleteket hajtjuk végre (összeadás, kivonás)
-utánna következik a szorzás, osztás

Példa
2x + 1 = 11
(Tehát itt szokott módon először eltüntetjük az x mellől a +1-et)
2x + 1 = 11      /-1
(2x + 1 - 1 = 11 - 1)
(2x + 0 = 10)
2x = 10      /:2
(Majd az ismert módon a kettes szorzót tüntetjük el az x elől)
(2/2 · x = 10/2)
(1 · x = 5)
x = 5
Ellenőrzés
2x + 1 = 11
(2 · 5 + 1 = 11)
(10 + 1 = 11)
11 = 11

Eddig csak egy oldalon szerepelt x (ismeretlen), nézzük meg, hogy nehezebb-e a feladatunk, ha mind a két oldalon szerepel x:
Példa
7x = 20 + 5x
Itt megint nem kell gondolkodnunk, csak az első példában kitűzött célunkat kell elérni, hogy csak a bal oldalon szerepeljen x (a szokásos trükkünket alkalmazzuk, csak most nem számra, hanem az 5x-re)
7x = 20 + 5x      /-5x
(7x - 5x = 20 + 5x - 5x)
(a mérlegelv miatt - hogy ne változzon meg az egyenlőség - mind a két oldalból ki kell vonni az 5x-et)
7x - 5x = 20 + 0
(mert 5x is egy szám, ezért 5x - 5x = 0)
2x = 20
x = 10
Ellenőrzés
7x = 20 + 5x
(7 · 10 = 20 + 5 · 10)
(70 = 20 + 50)
70 = 70

Ha valaki nagyon ránk akar ijeszteni és egy ilyen feladatot ad nekünk
Példa
10x + 7 - 3x - 7 = 30 + 2x - 10 + 3x
akkor még mindig nem kezdünk el gondolkodni, hanem használjuk az erre a helyzetre való trükkünket: ha ennyire áttekinthetetlen az egész, akkor az egyforma mennyiségeket (kutyust a kutyushoz, x-et az x-hez, számokat a számokhoz) egymás mellé gyűjtjük: hátha magától kialakul valami.
10x + 7 - 3x - 7 = 30 + 2x - 10 + 3x
10x - 3x + 7 - 7 = 30 - 10 + 2x + 3x
10x - 3x + 0 = 20 + 2x + 3x
7x + 0 = 20 + 5x
7x = 20 + 5x
De hát ez az előző példa, (amit már meg tudunk oldani) kár lett volna megijedni egy ilyen bonyolultnak tűnő alaktól

Ha a   7x = 20 + 5x  feladat így lenne felírva   7x - 2 = 18 + 5x  akkor is ha követjük a szokásos trükkünk: hogy egy oldalra gyűjtjük az x-eket, másikra a számokat, akkor ennek a megoldása sem lesz semmivel se bonyolultabb:
Példa
7x-2=18+5x
7x - 2 = 18 + 5x      /+2
(7x - 2 + 2 = 18 + 2 + 5x)
7x = 20 + 5x      /-5x
2x = 20
x = 10

Máris meg tudjuk oldani az elsőfokú egyismeretlenes egyenleteket, így utólag már nem is olyan ijesztő ez az elnevezésük, ez azt jelenti amit eddig csináltunk. Azért egyismeretlenes, mert csak egy ismeretlen, az x szerepel benne, azért elsőfokú, mert x nem szerepel benne magasabb hatványon (pl: x2), egyenletek jelentése pedig az elnevezéséből adódott, hogy (az = jel) mind a két oldalán egyenlő mennyiségek szerepelnek.

Az ismeretlent nem csak x-szel jelölhetjük, hanem más betűket is használhatunk pl: a, b, k, z,...
azaz az előző feladatunk így is kinézhetne
7y = 20 + 5y   vagy
7a = 20 + 5a   ...

Elmélet

Egyenletek

Egyismeretlenes egyenletek
Az A(x) = B(x) kifejezést egyenletnek nevezzük, ahol x az ismeretlen, és A és B tetszőleges algebrai kifejezést jelöl. (Az ismeretlent más betűkkel is jelölhetjük: z, a, k, ...) Azokat az egyenleteket amelyek megoldásának a halmaza megegyezik, ekvivalenseknek nevezzük.
Ha az egyenlet mindkét oldalát ekvivalens (egyenértékű) átalakításokkal változtatjuk, akkor a megoldáshalmaza nem változik:
-azaz ha ugyanazt a számot (kifejezést) adjuk hozzá (v.vonjuk ki) mind a két oldalból.
-vagy, ha ugyanazzal a számmal (kifejezéssel) (ezek nem lehetnek nullával egyenlőek) megszorozzuk (v. osztjuk) mind a két oldalt.
Lényegében az egyenletet ekvivalens átalakításokkal a lehető legegyszerűbb formára hozzuk.

Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek
ax + b = 0     vagy
ax + b = c
alakú egyenleteket lineáris egyismeretlenes egyenleteknek nevezzük (lineáris az azt jelenti, hogy x csak az első hatványon szerepel)

Példa
10x - 4 = 5x + 6
Az egyenletet ekvivalens átalakításokkal (azaz mind a két oldalhoz hozzáadunk 4-et, kivonunk 5x-et, 5-tel osztunk) a legegyszerűbb alakra hozzuk:
10x - 4 = 5x + 6      /+4
(10x - 4 + 4 = 5x + 6 + 4)
(10x + 0 = 5x + 10)
10x = 5x + 10      /-5x
(10x - 5x = 5x - 5x + 10)
(5x = 0 + 10)
5x = 10      /:5
x = 2

Ha nincs megadva az az alaphalmaz amelyen meg kell oldanunk a feladatot, akkor mindig R-en oldjuk meg a feladatot.
Az alaphalmaz az egyenleteknél fontos, mert ha az egyik alaphalmazon van is megoldása, a másikon már lehet, hogy nincs, s ha ezt nem vesszük észre, akkor az egyébként jól levezetett feladatunk, mégis hibás lesz:

Példa
Old meg a következő feladatot:
2x = 1
2x = 1       /:2
x = ½ = 0,5
x = 0,5
(Ellenőrzés: 2 · 0,5 = 1 Tehát jól oldottuk meg a feladatot)
Ebben az esetben - mivel nem adták meg az alaphalmazt - automatikusan a Valós számok(R) halmazát vettük alaphalmaznak.

De ha ugyanezt az egyenletet a következő szöveggel adják meg:

Példa
Oldjuk meg a következő feladatot a természetes számok (N) halmazán:
2x = 1
2x = 1        /:2
x = ½ = 0,5
Akkor a megoldás nem   x = 0,5    hanem a helyes válasz: mivel x = 0,5 ezért nincs megoldása az egyenletünknek, mert a Természetes számok közé a nulla, és a pozitív egész számok tartoznak, a törtszámok (0,5) pedig nem.

Mivel a továbbiakban a szabályos matematikai kifejezéseket fogom használni, ezért - ha valaki elfelejtette őket, akkor- megnézheti a következő algebra, vagy a számhalmazok részben ezeket.

Másodfokú egyenletek

ax2 + bx + c = 0
alakú egyenleteket nevezzük másodfokú egyenletnek, ha (a; b; c ∊ R, a ≠ 0)
(Nevét onnan kapta, hogy x a második hatványán szerepel benne.)
Ha ismerjük az egyenlet mind a két gyökét, akkor az előző egyenletet így is felírhatjuk:

a (x - x1) (x - x2) = 0
(Ez az ún. gyöktényezős alakja)

x2 + px + q = 0
megadásánál, pedig normált másodfokú egyenletnek nevezzük.

Ha p = 0 akkor x2 + q = 0 marad:
Példa
Ha q = -9, akkor mennyi lesz x értéke?
x2- 9 = 0
x2 - 9 = 0    /+ 9
x2 = 9     /√¯
x = ± 3
Tehát egy ilyen típusú egyenletnek mindig két megoldása van (itt x1 = + 3, és x2 = -3)

Példa
Ha q = +16, akkor mennyi az x értéke?
x2 + 16 = 0
x2 + 16 = 0    /-16
x2 = -16
Az ilyen típusú egyenleteknek soha sincs megoldása (a Valós számokon), mert x2 értéke nem lehet negatív szám.

Ha q = 0 akkor x2 + px = 0 marad:
Példa
x2 - 5x = 0   (kiemelem x-et)
x (x - 5) = 0
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla
tehát, ha   x = 0 vagy (x - 5) = 0
Megoldás:
x1 = 0  vagy
x - 5 = 0     /+5
(x - 5 + 5 = 5)
x2= 5
Láthatjuk, hogy itt is két megoldás van.

Teljes négyzetté alakítás
Az egyenletünket teljes négyzetté alakítással (is) megoldhatjuk:
ax2 + bx + c = 0     /:a
x2 + b/a · x + c/a = 0
(x2 + b/2a)2 - b2/4a2 + c/a = 0   képletet kapjuk (mivel (x + b/2a)2 = x2 + b/a x + (b/2a)2 ez az eredeti x2 + b/a · x-nél (b/2a)2-tel több, azért kell ezt levonnunk: -(b/2a)2, hogy ne változzon meg az egyenlet bal oldala

Példa
Alakítsuk teljes négyzetté:
x2 - 8x + 7 = 0
A képletünkbe behelyettesítünk:
(x + b/2a)2 - b2/4a2 + c/a = 0
a = 1,   b = -8
(x - 8/2)2 - (8/2)2 + 7 = 0  mert b2/4a2 = (b/2a)2
(x - 4)2 - (4)2 + 7 = 0
(x - 4)2 - 16 + 7 = 0
(x - 4)2 - 9 = 0
(x - 4)2 = 9
x - 4 = ±3   (nem csak a + 3, mert akkor gyököt vesztenénk!)
Ennek két megoldása van:
a,   x - 4 = +3     /+4
  x1 = +7
b,   x - 4 = -3    /+4
  x2 = 1
Tehát a két megoldás:   x1 = 7 és x2 = 1

Megoldhatóság szempontjából érdekes két eset:
- amikor az x = x formára jutunk (v. z = z, ...), akkor ez minden számra igaz
- ha x = x + c alakhoz jutunk pl:
x = x + 1, akkor ez egy számra sem igaz, azaz ellentmondás (pl: 6 = 7)

Megoldóképletek
x2 + px + q = 0
alaknál:
x1,2 = -p/2 ±√¯((p/2)2 - q)

ax2 + bx + c = 0 általános megoldóképlete
x1,2 = -b ±√¯(b2 - 4ac)
              2a

A (p/2)2 - q kifejezést, és a
b2 - 4ac kifejezést hívjuk diszkriminánsnak: D (tehát a gyökjel alattit: D → b2 - 4ac)
Diszkriminánst vizsgálva meg tudjuk mondani, hogy hány megoldása van az egyenletnek:
- ha D > 0 két megoldása van az egyenletnek
- ha D = 0 egy
- ha D < 0 akkor nincs (valós) megoldása az egyenletnek

Viéte-formulák:
Ezek a polinomok gyökei, és együtthatói közötti összefüggések.
Másodfokú egyenleteknél:
x1 + x2 = -b/a      x1 · x2 = c/a
Mert x1 = (-b + √¯D)/2a       x2 = (-b -√¯D)/2a
(ahol D = b2 - 4ac)
x1 + x2 = (-b + √¯D - b -√¯D)/2a = -2b/2a = -b/a
x1x2 = (-b + √¯D)/2a · (-b -√¯D)/2a = (x + y)/2a · (x - y)/2a =
(A számítás egyszerűsítésére segédismeretleneket veszünk fel:   x = -b       y = √¯D)
= x2 - y2/4a2
Visszahelyettesítve:
(b2 - (√¯D)2)/4a2 = (b2 - (b2 - 4ac))/4a2 = 4ac/4a2 = c/a

Harmadfokú egyenletek
általános alakja:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
v. (x3 + px2 + qx + r = 0)
A harmadfokú egyenlet általános megoldó képlete már nagyon bonyolult, ezért inkább másodfokú egyenletekre szeretjük visszavezetni.
Ilyen eset pl:
b = c = 0 → ax3 + d = 0
pl:
3x3 + 24 = 0      /:3
x3 + 8 = 0      /-8
x3 = -8/∛¯
x = -2   (Egyértelmű a megoldás, mivel egy negatív szám harmadik hatványa is negatív szám)
vagy, ha   d = 0ax3 + bx2 + cx = 0
pl:
2x3 - 14x2 + 20x = 0      /:2
x3 - 7x2 + 10x = 0    kiemelem x-et
x(x2 - 7x + 10) = 0
x1 = 0
x2 - 7x + 10 = 0    ezt megoldva:
x2 = 2
x3 = 5

Tehát a harmadfokú egyenletet felbontottuk egy első fokú, és egy másodfokú egyenlet szorzatára.
vagy, ha
az egyik gyököt ismerjük
akkor felírhatjuk, hogy:   x3 + px2 + qx + r = (x - x1)(x - x2)(x - x3)   ha pl. ismerjük x1-et, akkor (x - x1)-gyel osztva megint egy másodfokú egyenlethez jutunk
Például az   x3 - 6x2 + 7x + 6-t átírhatjuk így is:
x3 - 6x2 + 7x + 6 = x(x2 - 6x + 7) + 6
Ebből láthatjuk, hogy a megoldásnak (az egész számok halmazán) hatnak a valamelyik osztójának kell lennie:   ±1, ±2, ±3, ±6
Ebből próbálgatással megkapjuk x = 3-t
Így
(x3 - 6x2 + 7x + 6) : (x - 3) = x2 - 3x - 2 másodfokú egyenletet kapjuk az osztás (a tanult módon történő) elvégzése után.
Így visszavezettük a harmadfokú egyenletünket az x - 3 = 0 (elsőfokú) és x2 - 3x - 2 = 0 másodfokú egyenlet megoldására.

Horner-elrendezés
A Horner-elrendezéssel az előzőekben látott próbálgatást, és osztást egy táblázat segítségével "mechanikusan" végezhetjük el.

Negyedfokú egyenletek
Általános alakjuk:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0       (a ≠ 0)
A negyedfokú egyenlet a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható.
Néhány esetben ezt is vissza tudjuk vezetni másodfokú egyenletek megoldására, pl. ha csak x negyedik, és második hatványa szerepel benne:
x4 - 17x2 + 16 = 0
Megint segédismeretlent veszünk fel: a = x2
Ekkor az egyenletünk:
a2 - 17a + 16 = 0 alakú lesz.
a2 - a - 16a + 16 = 0
a(a - 1) - 16(a - 1) = 0      (a - 1)-et kiemelem
(a - 1)(a - 16) = 0
a1 = 1
tehát x12 = 1
x1 = ±1
és a2 = 16     ebből
x22 = 16
x2 = ±4

Többismeretlenes egyenletek
Szorzathalmaz
A x B (A kereszt B) két halmaz rendezett számpárjaiból áll (első elemét az A halmazból vesszük a másodikat pedig a B halmazból.
Pl:
A = {1;2}     B ={1;2;3},     akkor
A x B = {(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(2;2);(2;3)} (R x R helyett R2-et írhatunk.) A x B halmaz elemei a sík pontjainak felelnek meg. A x B x C rendezett számhármasok halmaza pedig a tér pontjainak felel meg.

Kétismeretlenes elsőfokú egyenletek
Általános alakjuk:
ax + by = c       (a ≠ 0, b ≠0)
(Egész számokra akkor, és csak akkor oldható meg, ha (a, b)|c)
pl. 3x + y = 7 egyenletünknek végtelen sok (számpár) megoldása van, pl: {(0;7);(1;4);(2;1) ... }
Ha ábrázoljuk, akkor láthatjuk, hogy egy egyenes pontjait kaptuk (amely az y tengelyt 7-nél metszi)

Háromismeretlenes lineáris egyenletek
Általános alakjuk:
ax + by + cz = d
Megoldásuk végtelen sok számhármast ad. Ezek a pontok egy síkon helyezkednek el.

A lineáris egyenlet általános alakja:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
a1,a2, ... ,an az egyenlet együtthatói (konstansok)
b: az egyenlet konstans tagja
Két példa lineáris egyenletre:
2x - 3y = 2
(10 - π)x1 - (1/3)x2 + (√¯3)x3 = 3

Egyenletrendszerek
Például egy háromismeretlenes egyenletrendszer (ez 3 egyenlet) megoldásait három sík metszete adja (mert külön-külön egy-egy sík lenne a megoldásuk az előző háromismeretlenes egyenletekről tanultak alapján). Tehát a megoldáshalmaz pl. lehet üres, állhat egy pontból, egy egyenesből.
Például
I           x + y + 2z = 10
II            x + y + z = 5
III      2x + 3y - 2z = 7
Ha az első kettőt kivonom egymásból, akkor a z = 5 eredményt kapom
Ezt pl. az elsőbe behelyettesítve
x + y + 10 = 10
x = -y-t kapom
Ezt a harmadikba (és a z = 5-öt is beírva) behelyettesítve:
-2y + 3y - 10 = 7
       -2y + 3y = 17
                  y = 17
és    2x - 3x - 10 = 7
              2x - 3x = 17
                      -x = 17
                      x = -17    eredményt kapva készen is vagyunk.
Tehát x = -17    y = 17    z = 5
Ellenőrzésként behelyettesítve:
I 10 = 10
II 5 = 5
III 7 = 7
Eredményül azonosságokat kaptunk.

Tehát egyenletrendszerről akkor beszélhetünk, ha van legalább két olyan egyenlet, amelyeknek a külön-külön vett megoldáshalmazaik metszete az egyenletrendszer megoldása lehet. Az egyenletrendszert úgy adjuk meg, hogy egymás alá írjuk, és aláhúzzuk őket.

Lineáris egyenletrendszer általános alakja:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
.
ak1x1 + ak2x2 + ... + aknxn = bk
ahol
aij:  paraméterek
bi:  paraméterek     (i = 1, ... ,k)
xj:   ismeretlenek     (j = 1, ... ,n)
Másként megfogalmazva:
a lineáris egyenletek egy halmazát nevezzük egyenletrendszernek. Az egyenletrendszer ismeretlenei azok az ismeretlenek, amelyek legalább egy egyenletben szerepelnek. (Ha egy ismeretlen valamelyik egyenletben nem szerepel, akkor úgy vesszük, hogy ott nulla az együtthatója)

Kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldási módszerei
Algebrai módszerek
-behelyettesítő módszer
-összehasonlító módszer
-ellentét együtthatók módszere

Behelyettesítő módszer
Valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és behelyettesítjük a másik egyenletbe:
I   3x + y = 7 → y = 7 - 3x
II  2x - y = 3 ← ide behelyettesítem y helyére
     2x - (7 - 3x) = 3
     2x - 7 + 3x = 3
     5x = 10
     x = 2
      → 3 · 2 + y = 7   (pl.) az első egyenletbe visszahelyettesítem az x-re kapott értéket
      6 + y = 7
      y = 1
Tehát x = 2    y = 1
Ellenőrzés
I  3 · 2 + 1 = 7
    7 = 7
II 2 · 2 - 1 = 3
    3 = 3
Mivel mindkét egyenletre azonosságot kaptunk, ezért az x = 2   és   y = 1 számpár megoldása az egyenletnek.

Összehasonlító módszer
Mindkét egyenletből kifejezzük az egyik változót (pl. y-t). Mivel a két (pl.) y ugyanazt a számot jelenti, ezért a kapott kifejezéseket egyenlővé tesszük.
I.  3x + y = 7 → y = 7 - 3x
II.  2x - y = 3 → y = 2x - 3
     (y = y)
     7 - 3x = 2x - 3
     10 - 3x = 2x
     10 = 5x
     x = 2
Ezt az egyik egyenletbe visszahelyettesítve megkapom y értékét:
     3 · 2 + y = 7
     y = 1
(Ellenőrzés az előzővel megegyezően történik)

Ellentét együtthatók módszere
I   3x + y = 7
II   2x - y = 3
Észrevesszük, hogy y együtthatói egymás ellentétei. Tehát ha a két egyenletet összeadjuk, akkor az egyik ismeretlen kiesik.
I + II:
     3x + y = 7
  + 2x - y = 3
      5x  = 10
      x = 2
Valamelyik egyenletbe visszahelyettesítve megkapom y értékét.
(Ellenőrzés a szokott módon történik)
Ha eredetileg nincs ilyen együttható, akkor is alkalmazhatjuk ezt a módszert. Olyan számokkal kell megszoroznunk az I, II egyenletet, hogy a kiválasztott változó (x vagy y) együtthatói ellentétei legyenek egymásnak.

Grafikus módszer
I   3x + y = 7
II   2x - y = 3
Észrevehetjük, hogy az első, és a második egyenlet is egy egyenes egyenlete. Ezeket ábrázolva, és a metszéspontjuk koordinátáit leolvasva megkapjuk a megoldást. (Az egyenesnek a (2;1) pontban metszik egymást.) (Ellenőrzés a szokott módon.)

Mátrixos módszer
Az egyenletrendszer megoldásakor láthattuk, hogy műveleteket csak az egyenletrendszer együtthatóival végeztünk. Ezért ha az együtthatókat és a konstansokat egy táblázatba gyűjtjük (vigyázva arra, hogy megőrizzék egyenletrendszerbeli egymáshoz képesti helyzetüket) akkor egy számtáblázatot, mátrixot kapunk, és ennek segítségével is megoldhatjuk az egyenletrendszerünket.



Algebra







Alapfogalmak

Összeadás
2 + 3 = 5
a + b = c
a = tag
b = tag
c = összeg

Kivonás
8 - 5 = 3
a - b = c
a = kisebbítendő
b = kivonandó
c = különbség

Szorzás
2 · 3 = 6
a · b = c
a = tényező
b = tényező
c = szorzat

Osztás
10 : 2 = 5
  a : b = c
a = osztandó
b = osztó
c = hányados

Kommutativitás
a + b = b + a
a · b = b · a
(Az összeadásnál, és a szorzásnál a változók sorrendje felcserélhető)

Asszociativitás
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Csoportosíthatóság: az összeadásnál és a szorzásnál a műveletek elvégzésének a sorrendje felcserélhető)

Disztributivitás
a · (b + c) = ab + ac
(Széttagolhatóság: mind a két tagot szorzom, és megtartom az előjelüket)

Kiemelés
(A "disztributivitás fordítottja")
ab + ac = a · (b + c)
Ha van közös tag (itt: a) azt kiemelhetem, és megtartom az előjeleket (v. műveleti jeleket)
Példa
Nem mindegy, hogy melyik oldalt végzem el (pedig mind a kettő értéke ugyanannyi!)
a=55 b=372 c=628
55 · (372) + 55 · (628) = 55 · (372 + 628)
Ugyanis a jobb oldali fejben is könnyen kiszámítható, mert 372 + 628 = 1000, így 55 · 1000 = 55 000, míg a másik oldalt kiszámolni egy "picit" nehezebb.

Egyszerűsítés
ad/bd = a/b · d/d = a/b (mert d/d = 1) b ≠ 0, d ≠ 0

Bővítés
(Az egyszerűsítés "fordítottja", de sokszor ez is "leegyszerűsítheti" a feladat megoldását)
a/b · c/c = a · c/b · c    b ≠ 0, c ≠ 0

Szorzás
a/b · c/d = a· c/b · d     b ≠ 0, d ≠ 0

Osztás
a/b : c/d = a/b · d/c = a · d/b · c
(Tehát osztás helyett reciprok (fordított) értékével szorzok)

Összeadás
a/b + c/d = a/b · d/d + c/d · b/b = ad + bc/bd     b ≠ 0, d ≠ 0

Kivonás
a/b - c/d = a/b · d/d - c/d · b/b = ad - cb/bd      b ≠ 0, d ≠ 0

Hatványozás
8 · 8 · 8 · 8 · 8    a megegyezés szerint az ilyen szorzást, amelynek minden tényezője egyenlő, rövidebben úgy is felírhatjuk, hogy 85 és ezt elneveztük nyolc az ötödikennek, ahol
8: (hatvány)alap
5: (hatvány)kitevő
85(=32768): a hatvány értéke
Általánosan an ("a az n-ediken") olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a.
a1 = a      (a ≠ 0)
ao = 1      (a ≠ 0)
(00 = nincs értelme)
Azonos alapnál:
82 · 83 = 82+3 = 85, mert (8 · 8) · (8 · 8 · 8) = 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 85
an · am = a n+m
85 / 83 = 82, mert (8 · 8) · (8 · 8 · 8) / (8 · 8 · 8) = (8 · 8), mert a három "darab" tényezővel egyszerüsíthetünk az osztásnál
an / am = an-m
(mert az m darabszámával egyszerüsíthetünk az osztásnál)
(an)m = anm = (am)n
a-n = 1/an
Különböző alapnál (ha azonos a kitevő):
an · bn = (a · b)n
an / bn = (a / b)n

Algebrai kifejezések összeadása és kivonása
Algebrai tagokat csak akkor adhatjuk össze és vonhatjuk ki egymásból ha azonos változókat tartalmaznak (alapnak, és a kitevőnek azonosnak kell lennie.)
Példa
3x + 8y + 2x - 6y = 3x + 2x + 8y - 6y = (3 + 2)x + (8 - 6)y = 5x + 2y
(Először az azonos változót tartalmazókat egymás mellé gyűjtöttem , majd a közös tagot kiemeltem az ab + ac = a(b + c) képletünk alapján, utána csak el kellett végezni a kijelölt műveleteket, és megkaptam az egyszerűbb alakot.)

Zárójelek felbontása
Ha a zárójel előtt + jel áll, akkor a zárójel elhagyható, s az előjelek maradnak (nem változnak).
Ha a zárójel előtt - jel van, akkor a zárójel elhagyásakor minden tag előjelét ellentétesre kell változtatnunk.
Példa
(7a - b)-(6a - 2b - 3c)-2c = 7a - b - 6a + 2b + 3c - 2c = 7a - 6a - b + 2b + 3c - 2c = a + b + c

Egy algebrai kifejezés számokból, változókból, és műveleti jelekből áll.
pl: 3,7x, 2x + 1, y + 1/y - 1, √¯x
A változók (a, b, c, ... x, y, z) egy számot jelentenek, amelynek azonban jelenleg még nem ismerjük az értékét.
Ekvivalens algebrai kifejezések: Két algebrai kifejezés ekvivalens, ha minden behelyettesítésre ugyanazt az értéket adják: Pl: x + 2x = 3x
Mindig az a feladatunk, hogy az algebrai kifejezéseket egy vele ekvivalens, egyszerűbb alakra (formára) hozzuk.
Behelyettesítésnek nevezzük azt, amikor egy kifejezésben szereplő változók helyére számokat írunk, és így egy bizonyos értéket kapunk.
Példa
G(x) = 5x + 2    x = 1
G(x) = 5 · 1 + 2 = 7
Együtthatók: számok, amelyekkel a változókat megszorozzuk (pl. x4 + 3x - 10-nél: 1;3)
Értelmezési Tartomány (ÉT): a változókba behelyettesíthető számok (de ha törtkifejezés van, akkor a nevező értéke nem lehet nulla)
Monom: egytagú algebrai kifejezések (pl: 7xyz)
Binom: kéttagú algebrai kifejezések
Polinom: többtagú algebrai kifejezések pl: (x4 + 3x - 10)
Polinom foka: az algebrai kifejezésekben előforduló legmagasabb kitevő

Polinomok szorzása
Példa
2x · 3x2 = 2x · 3 (x · x) = 2 · 3 · (x) · (x · x) = 6x3
3(2a - 4b) = 3 · 2a - 3 · 4b = 6a - 12b
xy(x2 + xy + y) = x3y + x2y2 + xy2

Az első algebrai kifejezés minden tagját megszorozzuk a második minden tagjával.

Polinomok osztása
Hasonlóan a számok osztásához
 48 : 3 = 16 (ha valaki nem emlékezne rá:)
-3
 18
-18
   0

Példa
 (x2 + 7x + 12) : (x + 3) = x + 4
-(x2 + 3x)
   0 + 4x + 12
      -(4x + 12)
           0 + 0
Először látom, hogy az x2-ben az x meg van x-szer, ezt leírom.
Utánna (x + 3)-at visszaszorzom x-el és levonom az első két tagból, majd a 12-est hozzáírom, mint a számoknál történő osztásnál.
Végül 4x-ben az x meg van 4-szer, leírom és visszaszorzom, mivel 0 a maradék, kész is vagyunk.

Nevezetes azonosságok
(ha ismerjük ezeket, és jól tudjuk használni, akkor sok munkát takaríthatunk meg velük)

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2+ 2ab + b2
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b) (a2 - 2 ab + b2) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3- b3 = (a - b) (a2+ ab + b2)

Algebrai kifejezések szorzattá alakítása
nevezetes azonosságok segítségével:
Példa
91x2 - 4y2 = (9x + 2y) (9x - 2y)
Észrevettük, hogy itt a 9x négyzetéből van kivonva 2y négyzete, megkerestük, hogy van(-e) ilyen képlet: a2 - b2 = (a + b) (a - b).
Itt a = 9x, b = 2y, és ezeket behelyettesítettem a képlet jobb oldalába.
kiemelés segítségével:
Példa
a2 + 9ab - 2ac = a(a + 9b - 2c)
(Megkerestem a kiemelés képletünket: ab + ac = a · (b + c) és ezt alkalmaztam a konkrét példára.)



Függvények:





Halmazok elemei közötti kapcsolatot relációnak nevezzük (ilyen pl. a rokonsági kapcsolat). A függvény a reláció (hozzárendelés, megfeleltetés) egy speciális esete, amelyben bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelhetünk hozzá.
Halmazokkal megfogalmazva: A φ relációt a H halmaz K halmazba való leképezésének nevezzük, ha H mindegyik a eleméhez egy olyan b(∈K) elem van, amelyre (a,b)∈φ. A b-t az a képének (képelemének), a- t pedig a b eredetijének (eredeti elemének) nevezzük. ((a,b)∈φ → az a elem relációban van a b elemmel)
A függvénytanban a leképzés helyett függvényt mondunk, az x elem φ(x) képelemét a függvény (x helyen felvett) értékének nevezzük, és magát a φ(x)-et is függvénynek nevezzük. Pl. y = sin x függvényt mondunk, pedig a függvény az x → sin x leképezés, y = sin x ennél a leképezésnél az x helyen felvett érték.
Tehát egy függvény tulajdonképpen egy hozzárendelés, amely során az ÉT (értelmezési tartomány) minden eleméhez pontosan egy elemet rendelünk az ÉK-ből (értékkészlet). Az értelmezési tartomány elemét (a független változót) x-szel jelöljük, az értékkészletből hozzárendelt elemet a függő változót (a függvényértéket) pedig y-nal. A hozzárendelési szabály gyakran egy algebrai kifejezés.
(Az eddigieket nagyon leegyszerűsítve azt mondhatjuk, hogy a függvénynél egy x értékhez csak egy y érték tartozhat)
Az "egyenleteknél" nézett piaci példánkkal:
1 kg áru (banán) 300 Ft-ba kerül. Hány forintba kerül x kg?
Itt a mennyiséget vesszük x-nek, az árat y-nak, így a hozzárendelés szabálya:
y = 300x
(itt x = 3 volt, tehát y = 900 Ft az ára a 3 kg banánnak)
Ebben az esetben minden egyes mennyiséghez pontosan egy árérték (y) tartozik, mert itt egy függvényről van szó (f-el jelöljük).
Itt az ÉT, és az ÉK csak pozitív szám (és a 0) lehet, mert az árak negatív értéket nem vehetnek fel.
Ha az (x;y) számpárokat egy koordináta rendszerben ábrázoljuk (x: vízszintes tengely y: függőleges tengely) akkor ezek a pontok adják a függvény képét. Ebben az esetben egy meredek egyenest kapunk.
Tehát egy függvény megadható:
- (érték)táblázattal
x 0 1 2 3
y 0 300 600 900
- egyenlettel
y = 300x
- a függvény grafikonjával
- utasítással
- képlettel
- nyíl diagrammal
Függvények jelölése
- f : y = 3x
- f : x → 3x (x-et leképezzük 3x-re)
- f(x) = 3x ("efx egyenlő 3x" vagy x függvényértéke 3x)
Zérushelyek
f(x) = 0 jelentése az x-tengellyel való metszéspontja(i)
Fixérték
f(x) = x a mediánnal (a pozitív x és y tengely szögfelezője) való metszéspontja.
Inverz függvények
Az előző példánkban láthattuk, hogy minden mennyiséghez pontosan egy árérték tartozik. Mivel ebben az esetben ez fordítva is igaz, ezért a mennyiség is az ár függvénye, (így van inverze ennek a függvénynek):
x = y/3 (pl. 900 Ft-ért 3 kg banánt vehetünk)
Ha a független változó x, akkor az inverz függvény jelölése:
f-1 : y = x/3
Inverz függvény ábrázolása: az eredeti függvényünket a mediánra tükrözzük. Tehát egy függvény invertálható (megfordítható), ha minden y értékhez pontosan egy érték tartozik. Az inverzfüggvény egyenletét úgy kapjuk meg, ha az x-et felcseréljük az y-nal.
Másként mondva: inverz függvénye csak kölcsönösen egyértelmű függvénynek lehet. (Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik eleméhez csak egy elemet rendelek B halmazból. (Az egyértelmű hozzárendeléseket függvénynek nevezzük). Kölcsönösen egyértelmű a hozzárendelés, ha a fordítottja is egyértelmű).
A függvények explicit, és implicit alakja
Ha x + y = 3 egyenlettel adok meg egy függvényt, akkor ezt implicit függvény megadási módnak hívjuk (jelentése: minden x értékhez pontosan egy y érték tartozik)
A függvény explicit alakját úgy kapom meg, hogy az egyenletet átrendezem y-ra: y = 3 - x
Lineáris függvények
Az elsőfokú függvények általános alakja:
y = ax + b ((a, b)∈R), képe pedig egy egyenes.
a: az egyenes meredeksége
b: ahol az egyenes az y tengelyt metszi ((0; b)pont)
zérushely: ahol a függvény értéke nulla, azaz, ahol az x tengelyt metszi.
Egy egyenes meredekségét két pontja megadja:
P1(x1; y1); P2(x2; y2)
(y2 - y1)/(x2 - x1) = ∆y/∆x
(∆: Delta a "Differenciát", a különbséget jelöli)
Tehát így (ha ismerem az egyenes meredekségét) megrajzolható a függvény képe: (0; b) pontból kiindulva vízszintesen ∆x távolságot megyek, onnan függőlegesen ∆y-t, a kapott pontot összekötve a (0; b) ponttal megrajzolhatom a függvény egyenesét (mert két pontja meghatároz egy egyenest)
Ha b = 0
akkor az y = ax függvény képe egy egyenes, amely az origón megy át, és meredeksége: a.
Ha a > 0 akkor az egyenes monoton növekvő
Ha a < 0 akkor az egyenes monoton csökkenő
Ebből az y = ax + b függvény képét az egyenest b-vel eltolva kapom. (Ha b > 0 felfelé, ha b < 0, akkor lefelé tolom el.)
Konstans függvény
Ha ax = 0, akkor az y = b függvényt kapom. Ha egy függvény értéke minden helyen ugyanannyi, akkor ezt konstans függvénynek nevezzük.
Pl:   f: x → 7, f(x) = 7, y = 7 módon megadottnak a képe, egy az x tengellyel párhuzamos egyenes, amely az y tengelyt a 7-es (0; 7) pontban metszi.
Egészrész függvény
f(x) = [x]
Egy szám egész része a nála nem nagyobb, hozzá legközelebb eső egész szám.
pl:
[6,8] = 6
[3,1] = 3
[-1,9] = -2
Képe egy lépcsőszerű "forma" pl: 0,1 közötti az x tengelyen lévő "szakasz", amelybe bal oldalon a 0 beletartozik, a jobb oldalon az 1-es nem.
(1,2 között pedig az y = 1 magasságában az x tengellyel párhuzamos "szakasz", amelybe az 1 beletartozik, de jobb oldalán a kettes nem.)
Törtrész függvény
f(x) = {x}    {x} = x - [x]
pl:
{1,1} = 1,1 - 1 = 0,1
{1,9} = 1,9 - 1 = 0,9
{-5,6} = -5,6 - (-6) = 0,4
ÉT: R     ÉK: 0 =< y < 1     Zérushelyei → x∈Z
Tehát a képe egy egységenként (pl. 0-1 között) 45o-ban y = 1-ig emelkedő kis szakaszokból áll, bal oldali kezdőpontja (pl. x = 0) benne van, de a jobb oldali végpontja (pl. x = 1) már nem.
Előjel függvény (signum) (sgn x)
sgn x = 1 ha x > 0
sgn x = 0 ha x = 0
sgn x = -1 ha x < 0
ÉT∈R   EK∈{-1; 0; 1}    zérushelye → 0
Tehát a képe ("balról") a nulláig:   y = -1, nullánál: 0, a pozitív számoknál pedig: y = 1

Másodfokú függvények
Általános alakja:
f(x) = ax2 + bx + c   (a, b, c∈R, a ≠ 0)
(nevét onnan kapta, hogy x a második hatványon szerepel benne)
A legegyszerűbb esetben (amikor   a = 1,   b = 0, és c = 0), f(x) = x2. Ekkor a függvény képe egy parabola, amely átmegy a (0; 0) ponton (tengelypontja az origó), és "felülről nyitott".
Az f(x) = ax2 függvény képe az előzőhöz képest y irányban "megnyúlik" v. "kövérebb" lesz.
Az f(x) = x2 + b függvény képéhez úgy jutunk, hogy az f(x) = x2 függvény képét az y tengelyen b értékével eltoljuk.
Ha az f(x) = x2 + bx + c függvényt teljes négyzetté alakítom pl:
y = x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)2 - 1
y = (x - 3)2 - 1  
függvényhez az y = x2 eltolásával jutok: Az   y = (x - 3)2 - 1   tengelypontja (3; -1), tehát 3 egységgel a pozitív irányba kell (jobbra) eltolni, és egy egységgel lefelé. (azaz az (x-3)2-ben szereplő előjelével ellentétes irányba, és a -1-gyel megegyező irányba)
A (-1)-es szorzásnál pedig a parabolánkat az x tengelyre kell tükröznünk (azaz "alulról nyitott" lesz)
A c (y = ax2 + bx + c) pedig megadja az y tengellyel való metszéspontot.

Hatványfüggvények
f(x) = xn
Páros kitevők esetén az x2 parabolához hasonlít, csak annál lassabban "nyílik", és az y-tengelyre szimmetrikus (az ((1; 1) és a (-1; 1) ponton mindig átmennek)
Páratlan kitevők esetén egy S betűhöz hasonló görbét kapunk, amely átmegy az origón, és szimmetrikus rá.
Páros negatív kitevő
A függvény képe szimmetrikus az y tengelyre, x = 0-ra nincs értelmezve, mindegyik átmegy az (1; 1) és a (-1; 1) ponton, csak pozitív y értékeik vannak. (Pl: f(x) = x-2)
Páratlan negatív kitevőjű függvények:
A függvény képe szimmetrikus az origóra, x = 0-ra nincs értelmezve (pl: f(x) = x-1)

Racionális kitevőjű függvények
Ezek tulajdonképpen a gyökfüggvények, ezért csak az x > 0 tartományban értelmezhetőek. Mind átmegy az (1; 1) ponton. Meredek kezdő emelkedés után, főleg az (1; 1) pont után ellaposodnak (pl: f(x) = x1/2(= √¯x))

Exponenciális függvények
f(x) = ax (a > 0) alakú függvényt exponenciális függvénynek nevezzük.
Mindegyik átmegy a (0, 1) ponton. Ha a > 0 (a ≠ 1) akkor a függvény képe: negatív x-eknél az x-tengelyhez közelít, a pozitív x-eknél pedig meredeken a végtelenbe tart.
Ha 0 < 0 < 1 akkor az előzőnek a fordítottja, csökkenő tendenciát mutat.
Fontossága miatt külön meg szoktuk említeni a természetes alapú exponenciális függvényt (f(x) = ex), amelynek az alapja az Euler-féle-szám (ennek a meredeksége a (0; 1) pontban 1)

Logaritmus függvények
Az f(x) = log ax (a > 0, a ≠ 1) függvényt logaritmus függvénynek nevezzük.
Ezek az exponenciális függvények inverzei, csak x > 0 számokra vannak értelmezve. Mind átmegy a (0; 1) ponton.
Ha a > 1, akkor a 0 < x < 1 közötti értékeknél (y tengelyhelyhez közelít) meredeken emelkedik, a (0; 1) pont után ellaposodik.
Ha 0 < a < 1, akkor pont fordítva van (az x tengelyre tükrös a képe)
A természetes alapú exponenciális függvény inverznek az f(x) = lognx függvénynek külön jelölése is van: f(x) = lnx (logaritmus naturalis x)

Trigonometrikus függvények
Sinus-függvény
Tulajdonságai: periódusának a hossza: 360o. Az első negyedben (0o - 90o)(0 - π/2): monoton növekvő, a függvény értékei pozitívak. A második negyedben (90o - 180o)(π/2 - π): monoton csökkenő, a függvényértékei pozitívak. A harmadik negyedben (180o - 270o) monoton csökkenő, a függvényértékei negatívak. A negyedik negyedben (270o - 360o) monoton növekvő, a függvényértékei negatívak. A Sinus-függvény az origóra szimmetrikus páratlan függvény, x∈R, a függvényértékei (y) - 1 és 1 között változnak.
Cosinus-függvény
A Cosinus-függvény az y-tengelyre szimmetrikus páros függvény, x∈R, a függvényértékei -1 és 1 között változnak, periódusának a hossza 360o
Tangens-függvény
Periódusának a hossza 180o, monoton növekvő
Cotangens-függvény
Periódusának a hossza 180o, monoton csökkenő



Számhalmazok:






A számhalmaz (v. számtartomány) - mint a neve is mutatja - számokból álló halmaz.
Az emberiség fejlődésével egyre bonyolultabb dolgokat kellett számokkal kifejezni, s ez kikényszerítette a számhalmazok bővítését (is).

A számhalmazok:
N: Természetes számok = 0, 1, 2, 3, ...
Z: Egész számok = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Q: Racionális számok = felírhatóak két egész szám hányadosaként
Q: Irracionális számok = nem írhatók fel két egész szám hányadosaként
R: Valós számok = Q + Q
C: Komplex számok: z = a + bi (ahol i = √¯-1)
H: Kvaterniók: a komplex számok négy dimenzióra történő kiterjesztései
Hiperkomplex számok: (nyolc dimenzióra történő kiterjesztés)

Természetes számok halmaza
A legismertebb számok a pozitív egészek { 1; 2; 3; ... }, s az emberiség történelme folyamán ezek is alakultak ki legkorábban. Az ó-indiaiak kezdték használni a nullát, amellyel a semennyit jelölték, s ami nélkül nem lenne helyiértékes számírás sem. (pedig pl. 1 és 1000 mennyire különböző mennyiség). A számjegyeket az arab számjegyekkel ábrázoljuk. Magyarországon a matematikusok abban állapodtak meg, hogy a nulla is a természetes számok közé tartozik (vannak országok ahol nem). A természetes számok halmazának végtelen számú eleme van (ez a legkisebb számosságú végtelen halmaz).
Természetes számok jele (naturalis, azaz "természetes" szó alapján): N: { 0; 1; 2; 3; ... } (számok tartoznak a halmazába).

Egész számok
A könyvelés: vagyon-adósság, időjárás: -3oC(hideg) van télen, ... matematikai leírásának igénye miatt a természetes számok halmazát kibővítették a negatív egész számokkal.
Jele a (zahlen) Z: { ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... } (számok tartoznak a halmazába).

Racionális számok halmaza
Az egész számok hányadosaként felírható számokra (a/b, ahol b ≠ 0) bővült az egész számok halmaza, a mérésekkel fellépő igények hatására.
A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú.
Jele a Q (quotient = hányados).

Irracionális számok halmaza
Olyan számok halmaza, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Az irracionális számok halmaza nem megszámlálhatóan végtelen (azaz kontinuum) számosságú.
Érdekesség, hogy ha az irracionális között a négy alapműveletet végezzük, akkor racionális számokat is kaphatunk eredményül.
pl: √¯3 - √¯3 = 0, √¯3 · √¯3 = 3,...
Sőt a π és az e szám nem csak irracionális, hanem transzcendens is, (azaz nem gyökei egész, v. racionális együtthatós polinomnak)
Jele a Q.

Valós számok halmaza
A Racionális számok (Q) + az Irracionális számok (Q) halmazát együttesen a Valós számok halmazának nevezzük. (másként: a Racionális számok halmazát, az Irracionális számok halmazával bővítve kapjuk a Valós számok halmazát)
Jele: R (a latin real = valós(ágos))
A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

Komplex számok halmaza
A komplex számokat a valós számok bővítésével kapjuk. A matematikusok boldogságához még hiányzott az, hogy nem tudtak negatív számból gyököt vonni. Erre lett megoldás az imaginárius szám (együttható) bevezetése:
i = √¯-1 (másként i2 = -1) Ekkor már megoldható pl. a √¯-9 kifejezés is, amelynek megoldása a komplex számok halmazán 3i (√¯-9 = √¯-1√¯9 = 3i)
A komplex számok halmazának a jele: C (complex)
A komplex szám felépítése:
z = a + bi
a: a komplex szám valós része, Re z-vel jelöljük (tehát a egy valós szám)
b: a komplex szám imaginárius része jele: Im z (érdekesség, hogy amit imaginárius résznek hívunk, az egy valós szám)
i: imaginárius (képzetes) egység (i = √¯-1)
A   z = a + bi   komplex szám ábrázolásakor az x tengelyre veszem fel "a" értékét, az y tengelyre "bi"-t. Tehát a komplex szám a (kétdimenziós) sík egy vektorának feleltethető meg.

A számhalmazok bővítésének módjából következik, hogy:
az összes számhalmaz a következőnek a részhalmaza:  N Z Q R C

Kvaterniók
A kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő ... kiterjesztései → a + bi + cj + dk, ahol i2 = j2 = k2 = ijk = -1.
Vele (a tisztán képzetes résszel) leírható a háromdimenziós vektortér, így a robotok vezérlésére is használható.
Jele: H (felfedezője miatt Hamilton féle számoknak (is) hívjuk.)

Hiperkomplex - számok
(Cayley-számok)
Ez már a számhalmazok "nyolcdimenziósra" bővítése. Habár a számhalmazokat tetszőleges mértékig bővíthetjük ezzel a módszerrel, a kvaternióknál bővebb számhalmazra ritkán van szükség.



Számrendszerek:





Tízes számrendszer:
egy= 100= 1
tíz= 101= 10
száz= 10x10= 102= 100
ezer= 10x10x10=103= 1000
tízezer= 104= 10.000
százezer= 105= 100.000
1 millió= 106= 1.000.000
1 milliárd= 1000 x millió= 109
1 billió= millió x millió= 1012
1 trillió= millió x billió= 1018
1 quadrillió= millió x trillió= 1024
1 quinquillió= 1030
tized= 1/10= 0,1= 10-1
század= 1/100= 0,01= 10-2
ezred= 1/1000= 0,001= 10-3
pl: 2009 jelentése= 2 x 103 + 0 x 102 + 0 x 10 + 9 x 1

Kettes számrendszer:
(ezt használják a számítógépek: 0, 1 értékek lehetségesek)
1011 jelentése= 1 x 23 + 0 x 2 2 + 1 x 2 + 1= 1 x 8 + 0 + 2 + 1
Bármely bináris szám 10-es számrendszerbeli értékét meg tudjuk határozni pl. táblázattal:

D(23) C(22) B(21) A(2o) Decimális (tízes számrendszerű)
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 1 0 0 4
0 1 0 1 5
0 1 1 0 6

(mert 5 = 22 + 1 = 4 + 1
6 = 22 + 21 = 4 + 2, és így tovább)

Római számok:
1:I 2:II 3:III 4:IV 5:V 6:VI 7:VII 8:VIII 9:IX 10:X
20:XX 30:XXX 40:XL 50:L 60:LX 70:LXX 80:LXXX 90:XC 99:IC 100:C
200:CC 300:CCC 400:CD 500:D 600:DC 700:DCC 800:DCCC 900:CM 990:XM 999:IM 1000:M
pl: 1997= MXMVII



Halmazok:






A halmazelmélet napjainkra alapvető fontosságúvá vált. Ennek oka az, hogy pl: a geometria a pontok halmazát vizsgálja, az elemi számelmélet a természetes számok halmazát, a klasszikus algebra a komplex számokét, az analízis a valós számok halazát,... A halmaz fogalmát sok példa alapján absztrakcióval alakíthatjuk ki: emberek "csoportja", csillagok "sokasága", tanulók "összessége", szurkolók "tömege" helyett használhatjuk a "halmaz" elnevezést is: csillagok "halmaza", tanulók "halmaza", ...
Azt szoktuk mondani, hogy: a halmaz bizonyos meghatározott, különböző dolgoknak az összessége. Azonban ez csak a halmaz (fogalom) más szavakkal történő körülírása, ugyanis a halmaz alapfogalom, ezért nem definiáljuk (nem értelmezzük).
A halmazt alkotó dolgok a halmaz elemei: (de: az elem fogalma is alapfogalom)
Egy halmazban egy eleme csak egyszer fordulhat elő.
Egy halmaz megadása a halmaz elemeinek a megadásával történik.
Ez többféleképpen történhet:
-felsoroljuk a halmaz összes elemét, ezeket vesszővel választjuk el, és kapcsos zárójelek közé tesszük, pl: {a, b, c}, {Balaton, Budapest, Pécs}
-a halmaz annyi elemét soroljuk fel, hogy ez alapján egyértelműen meg lehessen mondani, hogy mik a halmaz elemei, pl: {1, 3, 5, 7, 9, ... }
-ha ezek a megadási módok már nehézkesek (pl. nagyon sok elemet kellene felírni), vagy így nem is lehetséges megadni a halmazt, akkor a halmaz elemeit a tulajdonságaikkal, vagy a rájuk vonatkozó összefüggéseikkel adjuk meg a kapcsos zárójelek között.
Azaz a halmaz általános elemét, és az elemekre jellemző tulajdonságo(ka)t írjuk a kapcsos zárójelek közé. Általánosan:
B := {x : T(x)} vagy B := {x∣T(x)}
Tehát a B halmaz azoknak az x elemeknek az összessége, amelyek T tulajdonságúak.
Konkrétan pl: {1, 3, 5, 7, 9, ... } helyett így:
{x∣x természetes szám, x páratlan}
A := jel a definiáló egyenlőség jele
A halmazok, az elemek rövidebb jelölésére általában betűket, szimbólumokat szoktunk használni.
A jel bal oldalára írjuk a definiálandó jelet (szimbólumot) a jobb oldalára pedig azt, hogy a jel mit fog jelenteni.
Pl. az előző példát így definiálhatjuk:
L := {Balaton, Budapest, Pécs}
de így is:
a := Balaton    b := Budapest    c :=Pécs        ,akkor az L halmaz így is írható:
L := {a, b, c}
Üreshalmaz
Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üreshalmaznak nevezzük.
Jele: ø
h eleme H halmaznak kijelentés jelölése
hϵH
(ezzel a relációval (kapcsolattal) megadott fogalom is alapfogalom,
hϵH tagadásának a jelölése: h∉H (h nem eleme H-nak)
Két halmaz (akkor, és csak akkor) egyenlő, ha ugyanazokból az elemekből áll.
H = K
ennek a tagadása: H ≠ K
Venn-diagramok
Halmazokat sokszor ábrákkal (körlapokkal, téglalapokkal, ...), a halmaz elemeit pedig pontokkal (v. valamilyen résztartománnyal) ábrázoljuk. Ezeket az ábrákat hívjuk Venn-diagramoknak.
Univerzum
Mindig feltételezzük, hogy a vizsgált H, B, C, ... halmazok egy adott U halmaz részhalmazai. Ezt az U halmazt nevezzük univerzumnak (alaphalmaznak).
Az U alaphalmazt téglalappal ábrázoljuk, a H, A, ... részhalmazokat pedig zárt görbékkel. Ha nem lehet belőle félreértés, akkor az alaphalmazt nem kell feltüntetni.
Pl. a síkgeometriában az univerzum a sík pontjainak a halmaza.

Halmazműveletek:
Részhalmaz
Definíció:
A H halmaz B halmaznak részhalmaza (része) ha H minden eleme K-nak is eleme.
Jelölése: H ⊆ B     v.     B ⊇ H
A definíció szerint minden halmaz részhalmaza önmagának. Az üres halmaz minden halmaznak a részhalmaza, azaz
H ⊇ H,   H⊇ ø
Ezért nem üres halmazoknak legalább két részhalmaza van (a H halmaz, és az üres halmaz). Ezek H triviális részhalmazai, a H halmaz minden más részhalmazát H nem triviális részhalmazának hívjuk.
Valódi részhalmaz
Definíció:
Ha H ⊆ B és H ≠ B, akkor H-t a B valódi részhalmazának nevezzük.
Jele:
H ⊂ B
Hatványhalmaz
A halmazok elemei lehetnek halmazok is. Így egy H halmaz részhalmazai is egy újabb halmazt alkotnak.
Definíció:
Egy H halmaz összes részhalmazai is egy halmazt alkotnak, ezt H hatványhalmazának nevezzük.
Jele:
P(H)
Ha H elemeinek száma n, akkor P(H) elemeinek száma: 2n
Halmazok halmaza pl: az { x; y}, {x, y, z}, {x} halmazok halmaza a:
{{x, y}, {x, y, z},{x}}
A részhalmazokra teljesül:
-minden H-ra: H⊆H (reflexivitás)
-minden H-ra és B-re: ha H⊆B és B⊆H, akkor H = B (antiszimmetrikus tulajdonság)
-minden H-ra, B-re, és C-re: ha H⊆B és B⊆C, akkor H⊆C (tranzitivitás)
(Az antiszimmetrikus tulajdonságot sokszor használjuk két halmaz egyenlőségének a bizonyítására)
Halmazok metszete
Definíció:
Halmazok metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az adott halmazok mindegyikében benne vannak.
(H és B halmazok metszetén azt a halmazt értjük, amely A és B közös elemeit (és csak azokat) tartalmazza.)
Jele:

Pl. H := {1, 2, 3, 4}    B := {2, 3, 5, 8}
akkor H∩B = {2, 3}
A halmazok metszetére teljesülő azonosságok:
-kommutativitás: H∩B = B∩H
-asszociativitás: (H∩B) ∩C = H∩(B∩C)
-idempotencia: H∩H = H
Diszkjunkt halmazok
Definíció:
Két halmaz idegen (diszjunkt), ha a metszetük üres halmaz.
Halmazok uniója
Definíció:
Két halmaz uniója (egyesítettje) azon elemeknek a halmaza, amelyek az adott halmazok közül legalább az egyikben benne vannak.
(v: Az A és B halmazok uniója az a halmaz, amely A és B minden elemét (és csak ezeket) tartalmazza).
Jele:

Pl:
A := {1, 2, 3, 4}
B := {4, 5, 6}
A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A halmazok uniójára teljesülő azonosságok:
-kommutativitás: H∪B = B∪H
-asszociativitás:(H∪B)∪C = H∪(B∪C)
-idempotencia: H∪H = H
Idempotencia
H∪H = H teljesülését nevezzük idempotenciának. Ha ∪ helyett szorzást írnánk, akkor ez azt jelentené, hogy H2 = H, ebből az is következne, hogy H minden hatványa azonos H-val. Innen van az idempotencia = azonos hatványúság elnevezés. (H∩H = H is idempotens)
A halmazok uniója és metszete közötti kapcsolatra igaz azonosságok:
-abszopciós (elnyelési) tulajdonság:
H∪(H∩B) = H,    H∩(H∪B) = H
-disztributivitás:
(H∩B)∪C = (H∪C)∩(B∪C)
(H∪B)∩C = (H∩C) ∪(B∩C)
Halmazok különbsége
Definíció:
A H és B halmaz különbségén a H összes olyan elemének a halmazát értjük, amely B-ben nincs benne.
jele: H∖K
A H és a B halmaz különbségére érvényes a következő azonosság:
H ∖ B = H ∖ (H ∩ B) = (H ∪ B)∖ B
Halmazok szimmetrikus különbsége
Definíció:
A H és B halmazok szimmetrikus különbségén (jele: H∆K) a következőt értjük:
H∆K := (H∖K) ∪(K∖H)

Komplementer halmazok
Definíció:
Az E halmaznak az alaphalmazra (U = univerzum) vonatkozó komplementere (kiegészítő halmaza) az U ∖ E halmaz.
Jele: E felülhúzva egy vonallal: Ē
A komplementerképzésre érvényes azonosságok:
1.)    _
.      Ā = A   ("A kétszer felülhúzva = A -val")
2.)
.    A ∪ Ā = U(Univerzum), A ∩ Ā = ø
3.) _____
.    A ∪ E = Ā ∩ Ē
4.) _____
.    A ∩ E = Ā ∪ Ē
A 3. és a 4. azonosságot De Morgan-törvényeknek nevezzük.
Rendezett elempár
Ha két tetszőleges elem (a, b) közül az egyiket elsőnek pl. a-t) a másikat (pl. b-t) másodiknak kijelöljük, akkor beszélünk rendezett elempárról (kéttagú sorozatról).
Jele: (a, b)
Definíció:
(a, b) ≔ {{a}, {a,b}}
Descartes-féle szorzat
Definíció:
H és E halmaz H x E Descartes-féle szorzata (szorzathalmaza) az (a, b) rendezett elempárok halmaza:
H x E ≔ {(a, b)∣aϵH, bϵE}

Ha E = H, akkor H x H helyett H2-et is írhatunk.
Példa: ha H ≔ {1,2}, B ≔ {3, 4, 5}, akkor:
H x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
n ≧ 0 tényezős Descartes-féle szorzat
H1 x H2 x ... x Hn ≔{(a1, a2, ... , an)∣a1ϵH1, a2ϵH2, ... , anϵHn}
Tehát ha R a valós számok halmazát jelöli, akkor R x R = R2 a valós számokból alkotott számpárok halmaza, amely a geometriában a sík(számsík) pontjainak a halmaza. Az R x R x R = R2 x R = R3 halmaz pedig a tér pontjainak az összessége.
Halmazok számossága
Ha a halmaz elemeinek száma véges, akkor a halmazt végesnek (ide vesszük az üres halmazt is) mondjuk. (ellenkező esetben pedig végtelennek)
Ha két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, akkor a két halmaz számossága egyenlő, a két halmaz ekvivalens. Pl. megszámlálhatónak (megszámlálhatóan végtelennek) mondjuk a természetes számok halmazának, és a vele ekvivalens halmazoknak a számosságát. A valós számok halmazának, és a vele ekvivalens halmazoknak a számosságát pedig nem megszámlálhatónak (azaz kontinuum számosságúnak)
Diszkjunkt
A ∩ B = ∅
Két halmazról akkor mondjuk, hogy diszkjunkt halmazok, ha nincs közös elemük. (Pl: {a, b, c} és {d, e} diszkjunkt halmazok)



Kombinatorika:







A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik, vizsgálatai függetlenek a halmazok elemeinek a mibenlététől. Feladata annak a megállapítása, hogy egy véges halmaz elemeit, hogyan és hányféleképpen lehet csoportosítani.
A kombinatorika sok eredményét felhasználjuk a matematika több területén is, és más tudományokban is.
A csoportok elemeit az ábécé betűivel, pozitív egész számjegyekkel, vagy indexelt betűkkel jelöljük.
A kombinatorika alapfogalmai:
-permutáció
-variáció
-kombináció

Permutáció
A H halmaz önmagára való kölcsönösen egyértelmű (azaz önmagára való bijektív) leképezését permutációnak nevezzük.
Azaz ha n számú elemet minden lehetséges módon sorba állítunk, akkor az illető elemeket permutáljuk, az egyes elrendezéseket pedig az elemek permutációinak hívjuk.
Ismétlés nélküli permutáció
Ha az elemek mind különbözőek, akkor beszélünk ismétlés nélküli permutációról, n( ≥ 0) elemű halmaz permutációinak a száma:
Pn = n!

(Tehát n különböző elem n ! féleképpen rendezhető sorba)
Pl.
-két elem összes lehetséges permutációi:
xy, yz → Pn = P! = 1 · 2 = 2
-háromé:
xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx     Pn = 3! = 1 · 2 · 3 = 6
Ismétléses permutáció
Ha a permutálandó elemek között ismétlődők is vannak, akkor ismétléses permutációról beszélünk.
Az ismétléses permutációk száma
Pn(k1,k2, ... ,kr) = n! / k1! · k2! · ... · kr!

Bizonyítása:
Adott n elem, amelyek közül k elem egyenlő. Felírjuk az összes permutációt. Ha a k elemei is különbözőek lennének, akkor minden ismétléses permutációból annyi ismétlés nélküli permutációt kapnánk, amennyi k elem permutációinak a száma azaz k!-t, s így n elem ismétlés nélküli permutációinak a számát kapnánk: n!-t.
tehát a k! · Pnk = n!   egyenlőséget (Pnk: az ismétléses permutációk száma)
ebből:
Pnk = n! / k!    (n ∊ N+, k ∊ N+, k ≤ n)
Tehát ha n elem közül k egyenlő, akkor ezeknek az elemeknek n! / k! számú ismétléses permutációja van.
Hasonló gondolatmenettel jutottunk az általános képlethez, ha n elem között r féle különböző elem szerepel, úgy, hogy az egymással megegyező elemek száma k1, k2, ... , kr (ki = 1 is lehet), akkor az ismétléses permutációk száma:
Pn(k1,k2, ... ,kr) = n! / k1! · k2! · ... · kr!
Ha n elem között csak kétféle különböző elem van, az egyikből k darab, a másikból (n - k) darab, akkor az ismétléses permutációk számának a számítása:
Pn(k,n-k) = n! / k!(n - k)!

Variáció
Ismétlés nélküli variáció
Definíció:
Egy k- elemű halmaznak egy n- elemű halmazba való injektív leképzéseit (= n különböző elemből készítünk k- tagú sorozatokat, amelyekben egyenlő tagok nem lehetnek) az n elem k- tagú ismétlés nélküli variációinak hívjuk.
(k ≤ n)

n különböző elem k-tagú ismétlés nélküli variációinak a száma
Vnk = n(n - 1) ... (n - (k - 1))
Vnk = n!/(n - k)!    (n ≠ 0, 0! = 1)
Bizonyítás:
k helyet kijelölünk. Az első helyre még bármelyik n elemet kiválaszthatjuk.
A második helyre már csak eggyel kevesebbet, n - 1 elem közül választhatunk ... és így tovább. Végül a k-adik helyre (mivel k - 1 helyet már rögzítettünk) n -(k - 1) elem közül választhatunk. (ezek egymástól független események így "szorzással kapcsolódnak")
Tehát a k helyet n(n - 1) ... (n -(k - 1)) módon tudjuk kitölteni, azaz az n- elemű halmaz k- tagú ismétlés nélküli variációinak a száma(Vnk):
Vnk = n(n - 1) ... (n -(k - 1)) = n!/(n - k)! (0 ≤ k ≤ n)
Példa:
1, 2, 3, 4, 5 számjegyből hány olyan háromjegyű szám készíthető, amelyekben a számjegyek különböznek?
Vnk = n!/(n - k)!
V53 = 5!/(5 - 3)! = 5!/2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1/2 · 1 = 5 · 4 · 3 = 60
Az értelmezés szerint n különböző elem n- tagú (n- ed osztályú) (k = n) variációi ugyanazokat az elrendezéseket adják mint az n elem permutációi, hiszen n elemből csak egyféleképpen választhatunk ki n elemet, tehát az (ismétlés nélküli) permutáció az (ismétlés nélküli) variáció egyik (speciális) esete.
Ismétléses Variáció
Definíció:
Egy k- elemű halmaznak egy n- elemű halmazba való leképezéseit (= n különböző elemből készítünk k- tagú sorozatokat, amelyekben egyenlő tagok is lehetnek) n elem k- tagú ismétléses variációinak hívjuk.
n különböző elem k- tagú ismétléses variációinak a száma
Vnk(i) = nk
Bizonyítás:
Az adott k hely első helyére az n elem közül bármelyiket választhatjuk. Ezt az elemet - mivel ismétléses variációról van szó - a második helyére megint választhatjuk, így a második helyre is n elem közül választhatunk. Ez így megy tovább a k helyig. (ezek egymástól független események, így "szorzással kapcsolódnak")
Tehát a k helyet n(1) · n(2) · ... · n(k) módon tudjuk kitölteni, azaz az n elemű halmaz k- tagú ismétléses variációinak a száma Vnk(i):
Vnk(i) = n(1) · n(2) · ... · n(k) = nk
Példa:
Hányféleképpen tölthető ki egy 13+1 sorból álló totószelvény 1,2 és x használatával?
Itt n=3 és k=14, tehát 314 féleképpen lehet kitölteni = 4782969

Kombináció
Ismétlés nélküli kombináció
Definíció
Az n- elemű halmaz k- elemű részhalmazait n elem k- tagú ismétlés nélküli kombinációinak hívjuk.
(n különböző elem közül - sorrendre való tekintet nélkül - minden lehetséges módon kiválasztunk k elemet)
Cnk = (nk)
Tétel
n- elemű halmaz k- elemű részhalmazainak a száma:
(nk) := n! / k!(n - k)! = (n(n - 1) ... (n - (k - 1)) / k!
(nk) számot binominális együtthatónak hívjuk, mert a kéttagú kifejezés - azaz binom - n -edik hatványában együtthatóként szerepel.
(nk)(olv: n alatt a k) egy olyan tört amelynek a számlálójában k- tényező van n-től lefelé, nevezőjében: k tényező 1-től felfelé.
Cnk = Vnk / k!
Példa:
Adott elemszámú részhalmaz kiválasztására példa a(z ötös) lottó:
A 90 elemű halmazból 5 elemű részhalmazok száma:
(950) = 90! / 5! · 85! = 90 · 89 · 88 · 87 · 86 / 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 43 949 268
Ismétléses kombináció
Ha a kombinációban ugyanaz az elem többször is szerepelhet, akkor ismétléses kombinációról van szó.
Definíció
n - elemű halmaz elemeiből készített k (≥ 0) - tagú rendszereket az n elem k - tagú ismétléses kombinációinak hívjuk.
(azaz n elemű halmazból hány k - tagú rendszer készíthető?)
Cnk(i) = (n+kk-1)
(Elem)rendszerek:
- a kiválasztott elemek között lehetnek egyenlőek is, ezért nem alkotnak részhalmazt
- a kiválasztott elemek sorrendje sem lényeges, ezért nem is sorozatok

Binomiális együtthatók
Definíció
(nk) := (n(n - 1) ... (n - (k - 1))) / k! = n! / k! (n - k)!    n ∊ T, 0 ≤ k ≤ n

Binominális együtthatók tulajdonsága:
I. (nk) mindig természetes szám
II. (nk) = (n-nk)
III. (nk++11) = (nk) + (k+n1)
IV. (nk++11) = (nk) + (n-k1) + ... + (kk)

Binomiális tétel
A kéttagú kifejezés négyzete
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
és a köbe
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ezeket általánosítja a binomiális tétel:
Tétel:
Az a+b kifejezés bármely nemnegatív egész kitevős hatványa a következő alakú:
(a+b)n = (n0)an + (n1)an-1b + (n2)an-2b2 + ... + (n-n1)abn-1 + (nn)bn

Pascal-féle háromszög
A binomiális együtthatóknak a következő háromszög alakú táblázatban történő elrendezését Pascal-féle háromszögnek hívjuk.

0.sor . . . . . . 1 . . . . . .
1.sor . . . . . 1 . 1 . . . . .
2.sor . . . . 1 . 2 . 1 . . . .
3.sor . . . 1 . 3 . 3 . 1 . . .
4.sor . . 1 . 4 . 6 . 4 . 1 . .
5.sor . 1 . 5 . 10 . 10 . 5 . 1 .
6.sor 1 . 6 . 15 . 20 . 15 . 6 . 1

Ennek a táblázatnak az n-edik sorában az
(n0), (n1), (n2), ... , (nk), ... , (n-n1), (nn)
együtthatók állnak: Pl. a 6. sorban:
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, ami ezt jelenti:
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
A Pascal-féle háromszögben pl:
- a benne szereplő számok a középvonalra szimmetrikusan helyezkednek el
- bármelyik - nem szélen lévő - szám a fölötte balra és jobbra álló számok összege
- ...

Polinomiális tétel
A binomiális tétel általánosításával nem csak kéttagú kifejezések, hanem többtagú kifejezések tetszőleges nemnegatív egész kitevős hatványait is fel tudjuk írni. Ezekre érvényes az ún.
polinomiális tétel:
Az a1 + a2 + ... + ar többtagú kifejezés nemnegatív egész kitevős hatványa a következő alakban állítható elő:
(a1 + a2 + ... + ar)n = ∑(n! / k1! k2! ... kr!) · a1k1a2 k2 ... arkr
ahol az összegzést kiterjesztjük minden olyan nemnegatív egész számokból álló
k1, k2 ... kr kitevőrendszerre, amelyre
k1 + k2 + ... + kr = n



Differenciálhányados:







Geometriai és mechanikai feladatok megoldásához vált szükségessé a differenciálszámítás "kidolgozása" a 16. és 17. században.
Az analízis egyik legfontosabb részeként nagyon sokoldalú a felhasználása:
-szélsőértékszámítás, mennyiségek optimalizálása
-függvényelemzés
-testre vonatkozó impulzusvektor idő szerinti deriváltja egyenlő a rá ható erővektorok algebrai összegének időfüggvényével.
-a kémiában reakcióidőket lehet meghatározni vele
-a játékelméletben a megfelelő stratégiák meghatározásában segít
-operációkutatásban pedig gazdaságosságokat lehet vele meghatározni.
Differencia hányados
Ha egy egyváltozós valós függvény görbéjén felveszünk két pontot, a P, Q ponton átmenő szelő meredeksége (azaz az x tengellyel bezárt szögének tangense) így is felírható
k = ∆y/∆x = (f(x + ∆x) - f(x))/∆x
Ezt a kifejezést nevezzük differencia hányadosnak (v. különbségi hányadosnak) (Hiszen Q koordinátáit felírhatjuk P-hez viszonyítva is: x + ∆x (P x koordinátájánál ∆x-el nagyobb) és ebből f(x + ∆x)). Minnél kisebb a ∆x, ez a szelő annál inkább megközelíti a P pontban lévő érintőt.
∆x: a független változók különbsége
f(x + ∆x) - f(x): függvények (vagy a függő változók) különbsége.
Az érintő meredeksége tehát a szelő meredekségének a határértéke:
k = ∆x → 0lim ∆y/∆x = ∆x → 0lim (f(x + ∆x) - f(x))/∆x
Ez a differenciálhányados, vagy másként mondva az f függvény deriváltja.

Tehát a derivált a függvénygörbe érintőjének a meredeksége.
Ennek (azaz a deriváltnak) a jelei:
f'(x) (ef vessző x), y' (ipszilon vessző), dy/dx (dé y per dé x)
Így - ezzel a módszerrel - kereshetjük az érintő meredekségét.
Pl: az f(x) = x2 függvénynél a P(1, 1) pontban:
Felírom a differencia hányadost:
k = ((1 + ∆x)2 - 12)/∆x = (12 + 2∆x + (∆x2) - 1)/∆x = (2∆x + (∆x)2)/∆x = 2 + ∆x (∆x-el egyszerűsíthetek, mert ∆x ≠ 0)
Ha ∆x tart a 0-hoz, akkor az érintő meredeksége f(1) = 2.
Az f(x) = x2 függvény egy tetszőleges pontjára ezzel az eljárással:
(f(x + ∆x) - f(x))/∆x = ((x + ∆x)2 - x2)/∆x = (x2 + 2x∆x + (∆x)2 - x2)/∆x = (2x∆x + (∆x)2)/∆x = 2x + ∆x (mivel ∆x ≠ 0)
f'(x) = ∆x → 0lim 2x + ∆x = 2x (a határérték miatt ∆x = 0-val számolhatunk)
Azaz f'(x) = 2x
Tehát a függvény deriváltja megadja az adott függvény(görbe) legjobb lineáris közelítését ebben a pont(já)ban. (Ha az érintő "lefelé mutat," akkor a derivált egy negatív szám)
A fizikában is (pl) az út - idő összefüggésre a ∆t időtartamra a differencia hányados egy átlagsebességet ad, de a határértéke már a t időpontra jellemző sebességadatot a pillanatnyi sebességet adja.
v(t) = ∆t → 0lim (s(t + ∆t) - s(t))/∆t = s·(t) (a pontot csak a t változótól függő függvények deriváltjának a jelölésére alkalmazzuk)

Fontosabb függvények deriváltjai:
y y'
C(konstans) 0
C · x C
xn nxn-1
ex ex
lnx 1/x
loga x(= lnx/lna) 1/x · lna
sinx cosx
cosx -sinx
tg x 1/cos2x = 1 + tg2x
ctg x -1/sin2x = -1 - ctg2x
sh x ch x
ch x sh x

Deriválási szabályok
Összeg-szabály (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
Konstans-szabály (Cf(x))' = Cf'(x)
Szorzat-szabály (f(x) · g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Hányados-szabály (f'(x)/g(x))' = f'(x)g(x) - f(x) g'(x)/g2(x)
Lánc-szabály (f(g(x)))'= f'(g(x))g'(x)

Tehát a derivált annak a mértéke, hogy a függvény görbéhez (a pontjához) tartozó érintő milyen meredek. Ezért jól használható a függvény vizsgálatára. Megutatja, hogy a függvény monoton növekvő-e, ... , milyen a görbülete (konvex, ...), milyen a növekedésének mértéke, ..., szélsőértékeit, ...



Integrálszámítás:






Határozatlan integrál
Határozatlan integrál számításakor a valós függvények primitív függvényeinek meghatározása a cél, azért, hogy ezek alkalmazásával, a határozott integrállal geometriai (terület, térfogat), ... problémákat oldhassunk meg.
Az F(x) függvényt az f(x) függvény primitív függvényének nevezzük, ha F'(x) = f(x) teljesül, (azaz, ha F(x) deriváltja az eredeti f(x) függvény.) Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x)+C is az, mert a konstans hozzáadása a deriváltat nem változtatja meg. Tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van.

Példa
Melyik függvénynek a deriváltja az f(x) = x ?
Például az F(x) = x2/2 -é.
Pontosabban - ha egy függvényről továbbiakat nem tudunk - akkor oda kell írni az un. integrációs konstanst is:
F(x) = x2/2 + C
(C: egy tetszőleges konstans, mert ezek a tagok kiesnek):
mivel C' = 0 és (y = xn) y' = n · xn-1, ezért ha F(x) = x2/2 + C, akkor F(x)' = 2/2x1 + 0 = x.)

A primitív függvényt szoktuk határozatlan integrálnak nevezni:
F(x) = ∫f(x)dx
(integrál ef x dé x)

Néhány függvény primitív függvénye
∫k dx = kx + C
∫xndx = xn+1/n+1 + C
∫1/x · dx = ln(x) + C
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫1/cos2x · dx = tgx + C
∫1/sin2x · dx = ctgx + C
∫chx dx = shx + C
∫ dx = ax/lna + C
∫ex dx = ex + C

Az integrálszámítás szabályai
∫k f(x) dx = k∫f(x)dx
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx

Példa
Egy függvény deriváltja f'(x) =2x, és átmegy a P(3; 16) ponton (azaz adott egy pontja), add meg a függvény egyenletét.
∫2x dx = 2/2 · x2 + C = x2 + C
Az ismert pontjának a koordinátáit ebbe behelyettesítem:
32 + C = 16
(9 + C = 16)  /-9
C = 7
Tehát f(x) = x2 + 7

Feladat:
Számítsd ki a megadott függvények primitív függvényét!
1,  f(x) = 8x
Megoldás
1,  ∫8xdx = 8 ∫xdx  (∫k f(x)dx = k∫ f(x) dx képletünkből)
8∫xdx = 8 · x2/2 + C = 4x2 + C (∫xndx = xn+1/x+1 + C képlet felhasználásával)
Tehát    ∫ 8xdx = 4x2 + C


Határozott integrál
A függvénygörbe alatti terület meghatározását nevezzük integrálásnak. Adott f(x) függvény, az x tengelyen felveszünk tetszőleges a, b pontot, ezen az [a; b] intervallumon a függvény és az x tengely közötti területet számolhatjuk ki a határozott integrállal. (Azaz, a függvény görbéje, az x = a és x = b egyenes, és az x tengely által bezárt területet.)
Az a-t az integrál alsó határának b-t az integrál felső határának nevezzük (a < b).
Ennek a területnek először kiszámítjuk a közelítő értékét.
Ehhez először [a; b] intervallumot osszuk fel három egyenlő részre (és ezt ∆x-szel jelölöm): [x0; x1], [x1; x2], [x2; x3] (a = x0; b = x3)
Mindegyiken belül felveszek egy tetszőleges pontot és ezt xi-vel jelölöm. Pl. [x0; x1]-on belül xi1-el jelölöm: Ebből a pontból húzok egy az y tengellyel párhuzamos egyenest, és ez ahol metszi az f(x) függvényemet, ott az értéke f(xi1) lesz. Tehát itt lesz egy téglalapom amelynek alapja ∆x (=[x0; x1]) és a magassága f(xi1) A következő intervallumon ([x1; x2]) , is ugyanúgy járok el. A kapott téglalap alapja ∆x, magassága f(xi2). A harmadik téglalap területe pedig f(xi3) · ∆x.
Láthatjuk, hogy ez a három téglalap (azaz ezek területének az összege) elég jól közelíti a görbe alatti területet, azonban az is látszik, hogy még nagy az eltérés a két terület között.
De ha ∆x értékét egyre kisebbre vesszük ([a; b] intervallumot egyre több részre osztjuk, pl. nem három hanem 100 részre), akkor a téglalapok területe (területösszege) és a függvénygörbe alatti terület között egyre kisebb az eltérés. Tehát az a célunk, hogy minnél kisebb legyen ∆x (∆x a nullához tartson), s így a téglalapok területösszege is tartson a függvénygörbe alatti területhez.
Tehát a függvénygörbe alatti terület ≈ f(xi1)·∆x + f(xi2) ∆x+...+ f(xin)∆x = (f(xi1) + f(xi2) + ... + f(xin))∆x = ∑ni=1 f(xi)∆x ( ← összeg írásmóddal)
A határozott integrált (azaz a területet) ennek az összegnek a határértékeként definiálhatjuk, ha ∆x a nullához tart:
abf(x) dx = limn→∞ni=1 f(xi) · (xi - xi-1)
n: az [a; b] intervallumot (a, b közti részt) hány részre osztottuk fel.
f(xi): a részintervallumban (∆x) felvett xi-hez tartozó függvényérték (a téglalap "magassága")
xi - xi-1 = ∆x "részintervallum" "nagysága" (a téglalap "alapja")
n → ∞: minnél több részre osztom fel az a, b "szakaszt" ∆x annál kisebb, azaz a nullához tart.
a: az integrál alsó határa
b: az integrál felső határa
Tehát a terület: A = abf(x)dx ("Integrál a-tól b-ig f(x) dx")
A határozott integrál számítása a Newton-Leibniz-formulával:
abf(x)dx = [F(x)]ab, F függvény az f függvény (egyik) primitív függvénye" [F(x)]ab pedig az F(b) - F(a) kifejezést jelenti
Példa
Számoljuk ki az f(x) = x2 függvény grafikonja alatti terület nagyságát, az [ 1; 3 ] intervallumon. (az a = 1 és b = 3 között)
Felírom a képletet: abf(x)dx = ]F(x)]ab
F(x) kiszámításához szükséges képletünk (primitív függvény keresése):
∫xndx = (xn+1/n + 1) + C
∫x2dx = (x3/3)+ C
Tehát: 13x2dx = [x3/3]13 = 33/3 - 13/3 = 27/3 - 1/3 = 26/3 (A felső határból kivontam az alsó határt)
Ha egy függvény a vizsgált intervallumon egy vagy több zérushellyel rendelkezik, akkor ezek több részre bontják a vizsgált intervallumot, így ezeket a területeket egyenként kell kiszámítani, és ezután összeadni. (f(x) < 0 értékekre az integrál is negatív, a függvény görbéje és az x tengely közötti terület lesz az integrál)
Ha nincs megadva az intervallum, akkor előbb meg kell határozni a zérushelyeket, ezek lesznek az integrációs határaink.
Két függvény közti terület (f(x), g(x)) kiszámolása: x1x2(f(x) - g(x))dx
Meghatározzuk a két függvény metszéspontjainak koordinátáit (de lehet egy metszéspontjuk is), utánna külön-külön kiszámítjuk a területeket, és összeadjuk őket.
Példa:
Számítsuk ki az f(x) = x4 - 1 függvény x tengellyel bezárt területét a [0; 2] intervallumon (a = 0 és b = 2 között). A függvénynek x2 = 1-nél zérushelye van, tehát 0-tól 1-ig, és 1-től 2-ig külön kell integrálnunk.
abf(x)dx = [f(x)]ab
∫xndx = xn+1/n + 1 + C
01(x4 - 1)dx = [x5/5 - x]01 = 15/5 - 1 = -4/5
12(x4 - 1)dx = [x5/5 - x]12 = (25/5 - 2) - (15/5 - 1) = (32/5 - 10/5) -(1/5 - 1) = 22/5 + 4/5 = 26/5
Tehát a keresett terület: 4/5 + 26/5 = 30/5 = 6
Példa
Számítsuk ki az f(x) = - 2x3 + 8x2 függvény x tengellyel bezárt területét. Mivel nincs megadva intervallum, ezért először meg kell határozni a zérushelyeket:
-2x3 + 8 x2 = 0
x2(-2x + 8) = 0
x2 = 0 → x1 = 0
-2x + 8 = 0 → x2 = 4
Tehát a keresett terület:
04(-2x3 + 8x2)dx = [-2 · x4/4 + 8 · x3/3]04 = -(44/2) + (8 · 43/3) - 0 = - 128 + 512/3 = - 128 + 170 2/3 = 42 2/3 (42 egész 2/3)
Példa
Számítsuk ki az f(x) = x és g(x) = x2 függvények által közbezárt terület nagyságát!
Először meg kell határozni a metszéspontjaik x koordinátáit:
x2 = x
x2 - x = 0
x(x - 1) = 0
x1 = 0
x - 1 = 0 → x2 = 1
Tehát a közbezárt területük:
A = 01(x - x2)dx = [x2/2 - x3/3]01 = (1/2 - 1/3) - 0 = 1/6
Térfogatszámítás
Ha a görbénket megforgatjuk az x tengely körül, akkor egy forgástestet kapunk. (Például ha egy x tengelyen lévő téglalapot, akkor egy hengert kapunk, melynek magassága "ab", sugara pedig f(a) (v f(b)), ezeket pedig a henger térfogatszámítási képletébe helyettesítve meg is kaptuk a térfogatát.
De másik irányból közelítve (és általánosítva) is megkapjuk a térfogatot: itt a forgástestet egyre kisebb ∆x magasságú (v "vastagságú" hengerekre bontjuk, és ezek határértéke itt is megadja a pontos forgástest térfogatot.
Tehát a térfogatszámítás képlete is hasonló az előzőekhez (x tengely körüli forgás):
Vx = π · x1x2y2dx ("a → x1", b → x2")
(Ha az y tengely körül forgatom:
Vy = π · y1y2x2dy)


Geometria:






A kör
A kör (körvonal) a sík azon pontjainak a halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától (középpont) adott távolságra (sugár) vannak.
Körlap
A körlap (körlemez) azon pontok halmaza, amelyek távolsága kisebb v. egyenlő a sugárral.
Szelő
A körvonalat két pontban (M1, M2) metsző egyenest szelőnek (s) hívjuk.
Húr
Húrnak a szelőnek azt a szakaszát hívjuk, amelynek végpontjai a körvonal M1, M2 pontjai. (Azaz a húr a szelő, és a körlap (halmaz) metszete)
Átmérő
Az átmérő olyan húr, amely átmegy a kör középpontján.
Jele: d (diaméter)
d = 2 r
d: átmérő
r: sugár
Sugár
A sugár (sugárhossz) a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz
Jele: r (rádiusz)
Érintő
Az érintő olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel: (É).
A kör sugara az (É) érintési pontban merőleges az érintőre.
Tehát a kör egy adott pontjához csak egy érintő húzható. A körhöz egy rajta kívül lévő P pontból két érintő húzható. Ez a két "érintőszakasz" egyenlő egymással, mert POÉ1∆ ≅ POÉ2∆
Körív
A körvonalat bármely két pontja két összefüggő részre vágja (osztja) A körvonal két pontja közé eső vonaldarab az ív (körív)
Jele: i
Jelölni a végpontoknak megfelelő betűk fölé tett ívvel szoktuk (⌒), pl:

AB, vagy az utánnuk írt ív szóval, pl: AB ív
Körcikk
A két sugár és egy ív által határolt síkidomot hívjuk körcikknek (szektornak)
Félkör
A félkör a körcikk egy speciális esete.
Körszelet
A körlapból a szelő által lemetszett részt hívjuk körszeletnek (szegmentumnak → segmentum)
Körgyűrű
Két koncentrikus kör közé eső sík részt hívjuk körgyűrűnek.
Origó
A középpont jele az: O(Origó)
Radián
A sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög az 1 radián. Mivel a teljes kör 2 π radián, ebből:
1 radián = 360°/2π = 57° 17' 45" ≈ 57,3°
Kör
K = 2rπ
K = kerület
r = sugár
π = 3,14 ...
T = r2π
T = terület
r = sugár
π = 3,14 ...
Egyenlete
x2 + y2 = r2 ha a kör középpontja az origó
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
K(a, b): a kör középpontja
x, y: a középpontjától való eltérést mutatják
r: a kör sugara

Gömb
F = 4 r2π
F: felszín
r: sugár
π: 3,14 ...
V = 4 r3π/3
V: térfogat
r: sugár
π: 3,14 ...
Egyenlete
x2 + y2 + z2 ≦ r2 ha a gömb középpontja az origó, az egyenlőség a felületét jelenti, a < jel pedig a belsejét.
(x - u)2 + (y - v)2 + (z - w)2 = r2
K(u, v, w): a gömb középpontja
r: sugár
x, y, z: a középpontjától való eltérést mutatják






Feladatok:








(A megoldásokat - az önálló munka elősegítése érdekében - a feladatok végén találjátok meg.)





Tartalom:
egyenletek - algebra - halmazok - kombinatorika - sorozatok - gráfok - koordgeom - geometria


Egyenletek


Elsőfokú egyenletek:
e1.)    2x + 5 = 19
e2.)    3x - 11 = 16
e3.)    5a - 40 = 10
e4.)    2z + 26 = 6
e5.)    30 - 10x = 20
e6.)    5k - 4 = -11
e7.)    6x + 16 = 18
e8.)    9x + 4 = 5x + 14
e9.)    2000 - 8x = 12x
e10.)    3x/4 + 20 = 50
e11.)    a/2 + a/3 = 50
e12.)    k/7 + k/3 + 11 = k
e13.)    5(x + 2) = 2(3x - 5)
e14.)    7(e + 20) - 90 = 5e
e15.)    4(7x - 9) = 8(3x - 2)
e16.)    8g + 32 = 7(3 + 4g) - 9g
e17.)    7(i - 0,1) = 1,4(3i - 0,3)
e18.)    7(2x + 3) + 9 = - 3(2 - 5x) + 7
e19.)    7(6x + 100) = 2(21x + 10)
e20.)    6(8x - 3) - 3(16x - 7) = 3
Fejezzük ki a kérdezett ismeretleneket az egyenletből
e21.)   π = 3α     α = ?
e22.)   α + β = 270°     β = ?
e23.)   k = (x + y)/7     x = ?
e24.)   p = r√¯5/3     r = ?
e25.)   V = a · b · c     b = ?
e26.)   F = 2r2π + 2rπh     h = ?
e27.)   (x - y)/(x - z) = v     x = ?
e28.)   1/x + 1/y = 1/z     x = ?
Szöveges feladatok
e29.)   Ha egy szám feléhez hozzáadjuk a harmadát, eredményül 300-at kapunk. Melyik ez a szám?
e30.)   Ha egy számból kivonjuk a felét, és hozzáadjuk a harmadát, akkor eredményül 100-at kapunk. Melyik volt ez a szám?
e31.)   Egy szám felének, meg harmadának, meg ötödének az összege tízzel nagyobb mint maga a szám. Melyik ez a szám?
e70.)    Oldjuk meg az (1/5)x - 3/4 = -(3/2) + 2x egyenletet!
e80.)    Oldjuk meg a 3x = 1/27 egyenletet!
e81.)    Oldjuk meg a 22x-2 = 1/16 egyenletet a természetes számok halmazán.
e100.)    Oldjuk meg az ∣x∣ - 3 = 6 egyenletet a természetes számok halmazán.
e101.)    Oldjuk meg az ∣2x + 5∣ = 7 egyenletet.
e103.)    Oldjuk meg az ∣2x - 5∣ = 2x - 5 egyenletet!
e120.)    Oldjuk meg a log(x + 5) = 1 egyenletet!
e121.)    A 0,2 lgx = 0,8 lg2 egyenletnek van-e megoldása a természetes számok között?


Algebra feladatok


Vonjuk össze a következő algebrai kifejezéseket!
a1.)   7a + (a + 3b - 2c) + (2a + b) =
a2.)   5a - (a + 2b - 2c) - (- a - 3b + 2c) =
a3.)   2a - 3b + 8 - (a - 3b) =
a4.)   7a - 2b + 15 - (6a + 8) + (2b - 7) =
a5.)   3a2 - a - (2a2- 5) + (2a - 4) =
a6.)   7x2 + z3 - (y3 - 2y) - (7x2 + 2y) =
a7.)   2x2 - (x2- xy - y2) - (xy2 + y2) =
a8.)   2(2a + 3b) + 3(a - 2b) =
a9.)   8(x - 2y) - 2(4x + 3y) =
a10.)   3(3 - x) - 2(4 - x + y) - (x -y) =
a11.)    (-3) (-a + c) - 4(a - 2c) =
a12.)   2x(3x + 2y) - 3x(2x - y)=
a13.)   3a(a2- 2a + ab) - 2a2(a - 3 - b)
a14.)   (-2f)(2f2 - fg + 3g2) + f(5f2 - 2fg - 6g2) =
a15.)   x2(x - 3) + x(3x + 7) =
a16.)   4x(x3 + x2 - 2x + 3) - 2(2x3 - 3x2 + 6x) - 2x(x3 - x) =
Bontsuk fel a zárójeleket (azaz végezzük el a kijelölt szorzásokat), és utánna vonjuk össze a következő kifejezéseket.
a17.)   (2a + 8) (a - 4) =
a18.)   (2a - 3b)(4a - b) =
a19.)   (5a + 1)(5a2 - a + b) =
a20.)   (a - 3b)(-a + b) + (a + b)(a + 3b) =
a21.)   (5x + 4)(2x - 10) - (8 - 2x)(3x -5) =
a22.)   (2a + 1)2 =
a23.)   (3x + 5)2 =
a24.)   (3x - 4)2 =
a25.)   (4i - k)2 =
a26.)   (a3 - 2a)2 =
a27.)   (3x + 4)(3x - 4) =
a28.)   (a2 + 1)(a2 - 1) =
a29.)   (10a - 2c)(10a + 2c) =
a30.)   (9 + x)(9 - x) =
a31.)   (a + b)2 + (a - b)2 =
a32.)   (2x + 2)(x - 4) - (x - 3)2 =
Alakítsuk szorzattá a megadott szorzótényező szerint:
a33.)   -x + 3y - 10z = (-1) (   )
a34.)   5x2 - 5xy = (-5) (   )
a35.)   5x2 - 7xy - 2x3 = (-x) (   )
Alakítsuk szorzattá
a36.)   3a2 - 21ab + 9b2
a37.)   7x2 - 21xy - 14xz
a38.)   20f2g + 10g2 + 100g =
a39.)   2a3 + 8a2 - 16a =
a40.)   3x5 - 15x3 - 9x2 =
a41.)   a4b2c + 2a3bc + 7a2b =
a42.)   2r2π + 2rπh =
Alakítsuk szorzattá a nevezetes azonosságok segítségével
a43.)   a2 - 9 =
a44.)   x2 - 10 000 =
a45.)   49 - 16g2 =
a46.)   4a2 - 25b2 =
a47.)   x4 - y4 =
a48.)   x2 + 4x + 4 =
a49.)   x2 + 20x + 100 =
a50.)   a2 - 4a + 4 =
a51.)   a2 - 200a + 10 000 =
a52.)   4a2 + 12ab + 9b2 =
a53.)   100a2 + 40ab + 4b2 =
a54.)   64a2 - 16 ab + b2 =
Polinomok osztása
a55.)   (x2 + 9x + 14) : (x + 2) =
a56.)   (x2 + 2x - 15) : (x - 3) =
a57.)   (x2 - 7x + 10) : (x - 2) =
a58.)   (x3 - 2x2 - 17x + 10) : (x - 5) =
a59.)   (x3 - 6x2 - 11x + 10) : (2x + 4) =
a60.)   (x4 - 24x2 + 128) : (x + 4) =
a70.)    Egyszerüsítsük a következő törtet: (x2 - 2x + 1)/(x2 - 1)
a71.)    Határozzuk meg a 75 · 7-3 · 74 / 7-2 · 76 kifejezés értékét.
a72.)    Hozzuk egyszerűbb alakra az (x + 7)2 / (x2 - 49) kifejezést.


Halmazok


h1.)    {magyar folyók} Ennek a halmaznak a halmazelméletben szokásos jelölésére írjunk példákat.
h2.)    Üres halmazra írjunk példát.
h3.)    {30 és a 100 közötti páros számok} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
h4.)    { ..., -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
h5.)    {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
h6.)    {1, 3, 5, 7, 9 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
h7.)    {2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, ...} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
h8.)    { ... , (-2, -6), (-1, -3), (0, 0) , (1, 3), (2, 6), (3, 9), ... } Jelöljük röviden ezt a halmazt!
h9.)    H := {x∣xϵR, ∣x∣ < 2} halmaznak mi a jelentése?
h10.)    H := {Azon x elemek, amelyekre teljesül: x magyar város} B := {Azon x elemek halmaza, amelyekre teljesül: x magyar város} A H vagy a B halmaznak van több eleme?
h11.)    H ≔ {a, b, c, x, y} és B ≔ {c, g, y, z} Adjuk meg H∩B-t!
h12.)    Ha H := {a, b, c, x, y} és B := {c, x, y, z, 1 }, akkor adjuk meg H∪B-t.
h13.)    A ≔{x∣x természetes szám, x öttel osztható, 8 < x < 34} B ≔{x∣x természetes szám, x hárommal osztható, 8 < x < 34} Hány elemű   a) A ∩ B,   és   b) A ∪ B?
h14.)    H ≔{a, b, c} K ≔{x, y} Adjuk meg H és K halmaz Descartes - féle szorzatát.
h15.)    H1≔ {a, b}    H2≔ {1, 2}    H3≔ {x, y, z}    Adjuk meg H1, H2, és H3 halmaz descartes féle szorzatát.
h16.)    A ≔{2, 3, 100} Hány elemű az A x A halmaz?
h17.)    A ≔{2, 7}   B ≔{3, 4, 9, 10, 1000} Hány elemű az A x B halmaz?
h18.)    A ∖ B = B ∖ A egyenlőség milyen A, B halmazok esetén áll fenn?
h19.)    Igazoljuk, hogy H ∖(A ∪ E) = H ∩ Ā ∩Ē tetszőleges H, A, E halmazra.
h20.)    Ha A ≔{x∣x∊R,∣x∣< 5}, E ≔{x∣x∊R, x > 0}, akkor adjuk meg a Ā, Ē, A ∩ E, A ∪ E, A ∖ E halmazokat.
h21.)    A ≔ {a, b, c, d},   B ≔ {d, e, f, g, h} A és B diszkjunkt halmazok-e?


Kombinatorika


k1.)    Mennyi 6 elem ismétlés nélküli permutációinak a száma?
k2.)    Hány féleképpen lehet sorbarendezni x,y,z betűket úgy, hogy csak egyszer hasznáhatunk fel minden betűt?
k3.)    Egy 5 tagú baráti kör hányféleképpen állhat sorban az újságárusnál?
k4.)    Hány ötjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből?
k5.)    Hány ötjegyű szám képezhető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből?
k7.)    Bizonyítsuk be a teljes indukció módszerével, hogy Pn = n!
k10.)    1 zöld, és 2 piros golyót hányféleképpen rendezhetek sorba?
k11.)    Hány hatjegyű szám készíthető a 1, 2, 2, 2, 5, 5 számjegyekből?
k20.)    Hány permutációja lehetséges a KEVEREK szó betűinek?
k21.)    A MATEMATIKA szó betűinek hány permutációja lehetséges?
k23.)    Egy piros egy fehér és egy zöld golyó közül hányféleképpen húzhatok ki két golyót?
k24.)    Hányféleképpen tölthető ki egy 13+1 sorból álló totószelvény 1,2 és x használatával?
k25.)    Hány négyjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből (,ha egy számot többször is felhasználhatunk)?
k26.)    Hány hatjegyű szám készíthető az 1, 2, 3 számjegyekből?
k27.)    Hány hatjegyű szám készíthető a 0, 1, 2 számjegyekből?
k30.)    Piros, fehér, zöld golyók közül kettőt hányféleképpen tudok kiválasztani?
k31.)    Egy piros, egy fehér, és egy zöld golyó közül kiveszünk kettőt úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kivett golyót. Hányféle színösszeállítása lehet a kihúzott golyóknak?
k35.)    A Binominális tétel segítségével adjuk meg (1+1)n értékét.
k36.)    (1 - 3x)5-t a Binominális- tétel segítségével állítsuk elő!


Sorozatok


s1.)    1, 3, 5, 7, ... számtani sorozat csökkenő, vagy növekvő?

s2.)    10, 4, -2, -8, ... számtani sorozat csökkenő, vagy növekvő?

s3.)    Számítsuk ki az 1, 6, 11, 16, ... számtani sorozatunk 10. elemét(tagját).

s4.)    2, 5, 8, 11, ... számtani sorozat első 10 tagjából képzett számtani sornak mennyi lesz az összege?

s5.)    Egy számtani sorozat ötödik tagja 70, a kilencedik tagja pedig 100. Adjuk meg a sorozat a.) különbségét b.) első elemét

s6.)    Egy számtani sorozat negyedik tagja 70. A sorozat 11. tagja 30-cal nagyobb a 8. tagjánál. Mekkora a sorozat első tagja?

s7.)    Egy számtani sorozat harmadik tagja 60, a sorozat 9. tagja 20-szal kisebb a 7. tagjánál. Mekkora a sorozat első tagja?

s8.)    Egy számtani sorozat 5. tagja 20. Adjuk meg az első 9 tag összegét.

s9.)    Egy számtani sorozatról azt tudjuk, hogy a2 + a3 + 4 = 240 és a9 + a11 = 440    Kérdés:   a) d = ?,   b) a1 = ?

s10.)    Egy sakkverseny résztvevői között 36 000 Ft jutalmat osztottak szét, úgy hogy az első 6000 Ft-ot kapott, és minden további helyezett ennél 500-500 Ft-tal kevesebbet. a.) Igazat mondott -e a sportvezető, hogy a versenyen 10 játékos vett részt? b.) Hány forintot kapott az utolsó helyezett?

s20.)    Számítsuk ki a 3, 6, 12, ... mértani sorozat kvóciensét(hányadosát)

s21.)    Számítsuk ki a 3, 6, 12, ... mértani sorozat 7. elemét.

s22.)    Számítsuk ki a 2, 6, 18, ... mértani sorozat első 5 elemének az összegét!

s23.)    Egy mértani sorozat harmadik eleme -7, hatodik eleme 7. Mennyi az első 10 elem összege?

s24.)    Egy mértani sorozat harmadik és ötödik eleme is -9. Mennyi lehet az első 8 elem összege?

s25.)    a1 = 3 és a5 = 48 Számítsuk ki a mértani sorozat hányadosát, és az első 5 elemének az összegét.

s26.)    a1 = 54, a4 = 2, számítsuk ki a mértani sorozat hányadosát, és az első 4 tagjának (elemének) az összegét.

s27.)    q = ⅓, n = 6, a6 = 4, számítsuk ki a mértani sorozat első tagját, és az első 6 tagjának az összegét!

s28.)    q = 3, n = 5, S5 = 242 Számítsuk ki a mértani sorozat első és az 5. tagját.

s29.)    a3 - a2 = 15,    a3 - a1 = -15    Adjuk meg a mértani sorozat első tagját!

s30.)    Egy mértani sorozat negyedik tagja hárommal nagyobb a harmadik tagjánál, szorzatuk pedig: -2. Adjuk meg a sorozat első tagját!

s32.)    q = 3, an = 405, Sn = 605. Hány elemű a mértani sorozat?

s33.)    Egy 1 millió Ft értékű berendezés értékcsökkenése - minden évben - az előző évi érték 10%-a. Mekkora lesz a berendezésünk értéke 5 év múlva?


Gráfok


gr1.)    Egy 5 tagú társaságból ketten azt állítják, hogy három embert ismernek, egy azt, hogy kettőt, és ketten pedig azt, hogy egy embert ismernek. 1.) Igazat mondanak-e? 2.) Ha igen, akkor rajzoljuk le gráffal ezt az esetet!
gr2.)    Egy síkban megadunk 15 pontot. Ezek közül négy egy (a) egyenesen van, másik 5 egy másik (b) egyenesen, és a maradék hat pedig egy harmadikon (c). Ha egy pontot kiválasztunk az a egyenesről egy másikat a b-ről, és egy harmadikat a c-ről, akkor ez a három pont biztos, hogy nincs egy egyenesen. Hány egyenes fektethető ezen a 15 ponton keresztül?
gr3.)    Legfeljebb hány kört határoz meg a síkon 7 pont?
gr4.)    Maximum hány gömböt határozhat meg a térben 9 pont?


Koordinátageometria


ko1.)    Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét amelynek normálvektora n(-3,5) és átmegy a P(7, 6) ponton.
ko2.)    Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét amely átmegy az A(5, 4)    B(8, 6) pontokon.
ko3.)    a(-1, 3), b(2, 8). Számítsuk ki az a + b, a b - a, és a 3a - 2b vektorok koordinátáit!


Geometria


g1.)    Határozzuk meg a derékszögű háromszög átfogójának a hosszát, ha tudjuk, hogy a két befogó hossza 30 cm, és 40 cm.
g2.)    Mekkora a henger térfogata, ha alapkörének a sugara 10 cm, magassága pedig 30 cm.





Megoldások:





Tartalom:
egyenletek - algebra - halmazok - kombinatorika - sorozatok - gráfok - koordgeom - geometria








 

Egyenletek


(A zárójelbe tett sorokat egy kis gyakorlat után már nem szoktuk leírni, hanem fejben végezzük el).




e1.)
2x + 5 = 19      /-5
(2x + 5 - 5 = 19 -5)
2x = 14      /:2
x = 7
Ellenőrzés:
2 · 7 + 5 = 19 (Az eredeti egyenletbe a 7-et behelyettesítjük)
14 + 5 = 19
19 = 19 (Ez igaz, tehát jól oldottuk meg az egyenletet)

e2.)
3x - 11 = 16      /+11
(3x - 11 + 11 = 16 + 11)
3x = 27      /:3
x = 9
Ellenőrzés:
(3 · 9 - 11 = 16)
27 - 11 = 16
16 = 16

e3.)
5a - 40 = 10      /+40
5a = 50      /:5
a = 10
Ellenőrzés:
(5 · 10 - 40 = 10)
50 - 40 = 10
10 = 10

e4.)
2z + 26 = 6      /-26
(2z + 26 - 26 = 6 - 26)
2z = -20      /:2
z = -10
Ellenőrzés:
2(-10) + 26 = 6
-20 + 26 = 6
6 = 6

e5.)
30 - 10x = 20      /-30
(-10x = 20 - 30)
-10x = -10      / · (-1)
10x = 10
x = 1
Ellenőrzés:
30 - 10 · 1 = 20
30 - 10 = 20
20 = 20

e6.)
5k - 4 = -11      /+ 4
5k = - 7      /:5
k = - 7/5 = - 1,4
Ellenőrzés:
5(-1,4) - 4 = -11
-7 - 4 = -11
-11 = -11

e7.)
6x + 16 = 18      /-16
6x = 2      /:6
x = 2/6 = 1/3 = 0,33333...
x = 1/3   (Mivel a törtalak a pontos, ezért nem írjuk át tizedestört alakba)
Ellenőrzés:
6 (1/3) + 16 = 18
(6/3 + 16 = 18)
2 + 16 = 18
18 = 18

e8.)
9x + 4 = 7x + 14     /-4
9x = 7x + 10     /-7x
2x = 10
x = 5
Ellenőrzés:
9 · 5 + 4 = 7 · 5 + 14
45 + 4 = 35 + 14
49 = 49

e9.)
2000 - 8x = 12x     /+8x
2000 = 20x     /:20
100 = x
Ellenőrzés:
2000 - 800 = 12 · 100
1200 = 1200

e10.)
3x/4 + 20 = 50     /-20
3x/4 = 30     /·4
3x = 120     /:3
x = 40
Ellenőrzés:
120/4 + 20 = 50
30 + 20 = 50
50 = 50

e11.)
a/2 + a/3 = 50     /·6
3a + 2a = 300
5a = 300     /:5
 a = 60
Ellenőrzés:
60/2 + 60/3 = 50
30 + 20 = 50
50 = 50

e12.)
k/7 + k/3 + 11 = k     /·21
3k + 7k + 231 = 21k
10k + 231 = 21k     /-10k
231 = 11k     /:11
21 = k
Ellenőrzés:
21/7+21/3+11=21
3+7+11=21
21=21

e13.)
5(x + 2) = 2 (3x - 5)      (a szorzást elvégzem, azaz a zárójeleket felbontom)
5x + 10 = 6x - 10      /+10
5x + 20 = 6x      /-5x
20 = x
Ellenőrzés:
5(20 + 2) = 2(60 - 5)
5 · 22 = 2 · 55
110 = 110

e14.)
7(e + 20) - 90 = 5e
7e + 140 - 90 = 5e
7e + 50 = 5e      /-5e
2e + 50 = 0      /-50
2e = -50      /:2
e = -25
Ellenőrzés:
7(-25 + 20) - 90 = 5 (-25)
7(-5) - 90 = -125
-35 - 90 = -125
-125 = -125

e15.)
4(7x - 9) = 8(3x - 2)
28x - 36 = 24x - 16      /-24x
4x - 36 = -16      /+36
4x = 20      /:4
x = 5
Ellenőrzés:
4(35 - 9) = 8(15 - 2)
4(26) = 8(13)
104 = 104

e16.)
8g + 32 = 7(3 + 4g) - 9g
8g + 32 = 21 + 28g - 9g
8g + 32 = 21 + 19g      /-8g
32 = 21 + 11g      /-21
11 = 11g
1 = g
Ellenőrzés:
8 + 32 = 21 + 28 - 9
40 = 40

e17.)
7(i - 0,1) = 1,4(3i - 0,3)      /:1,4
5(i - 0,1) = 3i - 0,3
5i - 0,5 = 3i - 0,3      /-3i
2i - 0,5 = -0,3      /+0,5
2i = 0,2
i = 0,1
Ellenőrzés:
7(0,1 - 0,1) = 1,4(0,3 - 0,3)
7 · 0 = 1,4 · 0
0 = 0

e18.)
7(2x + 3) + 9 = -3(2 - 5x) + 7
14x + 21 + 9 = -6 + 15x + 7
14x + 30 = 15x + 1      /-14x
30 = x + 1      /-1
29 = x
Ellenőrzés:
7(58 + 3) + 9 = -6 + 15 · 29 + 7
427 + 9 = 435 + 1
436 = 436

e19.)
7(6x + 100) = 2(21x + 10)
42x + 100 = 42x + 20      /-42x
100 ≠ 20
(Ez ellentmondás, tehát ennek az egyenletnek nincs megoldása)

e20.)
6(8x - 3) - 3(16x - 7) = 3
48x - 18 - 48x + 21 = 3
-18 + 21 = 3
3 = 3
(Tehát ez minden x-re igaz)
Ellenőrzés pl.:
6(8 - 3) - 3(16 - 7) = 3
6 · 5 - 3 · 9 = 3
30 - 27 = 3
3 = 3

Fejezzük ki a kérdezett ismeretleneket az egyenletből

e21.)
π = 3α      α = ?
π = 3α      /:3
π/3 = α

e22.)
α + β = 270°      β = ?
α + β = 270°      /-α
β = 270° - α

e23.)
k = (x + y)/7      x = ?
k = (x + y)/7      /·7
7k = x + y      /-y
7k - y = x

e24.)
p = r(√¯5)/3      r = ?
p = r(√¯5)/3      /·3
3p = r(√¯5)      /:√¯5
3p/(√¯5) = r

e25.)
V = a · b · c      b = ?
V = a · b · c      /:a
V/a = b · c      /:c
V/ac = b

e26.)
F = 2r2π + 2rπh      h = ?
F = 2r2π + 2rπh      /:2rπ
F/2rπ = r + h      /r
F/2rπ - r = h

e27.)
(x - y)/(x - z) = v      x = ?
(x - y)/(x - z) = v      /(x - z)
x - y = v(x - z)
x - y = vx - vz      /-vx
x - vx - y = -vz      /+y
x - vx = y - vz      (x-et kiemelem)
x(1 - v) = y - vz
x = (y - vz)/(1 - v)

e28.)
1/x + 1/y = 1/z      x = ?
1/x + 1/y = 1/z      (közös nevezőre hozom)
(y + x)/xy = 1/z      /·xy
y + x = xy/z      /·z
z(y + x) = xy
zy + zx = xy      /-zx
zy = zy - zx
zy = x(y - z)      /:(y - z)
zy/(y - z) = x

Szöveges feladatok

e29.)
Ha egy szám feléhez hozzáadjuk a harmadát, eredményül 300-at kapunk. Melyik ez a szám?
Az eddig tanultak alapján: nem tudjuk, tehát x. Innen pedig leírjuk a szöveget egyenlettel:
x/2 + x/3 = 300
(a szám felét megkapjuk, ha x-et osztjuk kettővel, harmadát pedig, ha hárommal osztjuk. Ezeket össze kell adnunk, a másik oldalon pedig az eredmény 300.)
x/2 + x/3 = 300      /·6
3x + 2x = 1800
(5x = 1800)      /:5
x = 360
Ellenőrzés:
360/2 + 360/3 = 300
180 + 120 = 300
300 = 300

e30.)
Ha egy számból kivonjuk a felét, és hozzáadjuk a harmadát, akkor eredményül 100-at kapunk. Melyik volt ez a szám?
Melyik volt ez a szám: x, mennyi a fele: x/2,...)
x - x/2 + x/3 = 100      /·6
6x - 3x + 2x = 600
5x = 600      /:5
x = 120
Ellenőrzés:
120 - 120/2 + 120/3 = 100
120 - 60 + 40 = 100
100 = 100

e31.)
Egy szám felének, meg harmadának, meg ötödének az összege tízzel nagyobb mint maga a szám. Melyik ez a szám?
(x/2 + x/3 + x/5 = x + 10, magánál a számnál (x-nél) tízzel nagyobb a három összege, tehát x-hez 10-et kell hozzáadni, hogy egyenlő legyen velük)
x/2 + x/3 + x/5 = x + 10      /·30
15x + 10x + 6x = 30x + 300
31x = 30x + 300      /-30x
x = 300
Ellenőrzés:
300/2 + 300/3 + 300/5 = 300 + 10
150 + 100 + 60 = 310
310 = 310

e70.)
Oldjuk meg az (1/5)x - 3/4 = -(3/2) + 2x egyenletet!
(Mivel más nincs jelezve, ezért a valós számok halmazán oldom meg:)
(1/5)x - 3/4 = -(3/2) + 2x    / ·20
4x - 15 = -30 + 40x    / +30
4x + 15 = 40x    / -4x
15 = 36x
x = 15/36 = 5/12
x = 5/12
Ellenőrzés:
(1/5) · (5/12) - (3/4) = -(3/2) + 2 · 5/12
(1/12) - (3/4) = -(3/2) + 10/12    / ·12
1 - 9 = -(36/2) + 10
-8 = -18 + 10
-8 = -8

e80.)
Oldjuk meg a 3x = 1/27 egyenletet!
Azonos átalakítással
3x = 3-3
Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez akkor és csak akkor teljesül ha
x = -3
Tehát a 3x = 1/27 exponenciális egyenlet gyöke: x = -3

e81.)
Oldjuk meg a 22x-2 = 1/16 egyenletet a természetes számok halmazán.
22x-2 = 1/16
22x-2 = 2-4
Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez akkor és csak akkor teljesül, ha:
2x - 2 = -4
2x = -2
x = -1
Tehát a feladatnak nincs megoldása, mert -1 nem természetes szám.

e100.)
Oldjuk meg az ∣x∣ - 3 = 6 egyenletet a természetes számok halmazán.
∣x∣ - 3 = 6    / + 3
∣x∣ = 9
I.    x ha x ≥ 0
II.  -x ha x < 0
I. ha x ≥ 0, akkor
x = 9
II. ha x < 0, akkor
-x = 9
x = -9
Tehát az egyenletünk megoldása az x = 9, az x = -9 pedig nem, mert a -9 nem természetes szám.

e101.)
Oldjuk meg az ∣2x + 5∣ = 7 egyenletet.
(Mivel mást nem adtunk meg, ezért a valós számok halmazán oldjuk meg)
∣2x + 5∣ = 7
I.   (2x + 5) ha 2x + 5≥0      2x ≥-5      x≥-5/2
II. -(2x + 5) ha 2x + 5<0      2x <-5      x<-5/2
I. ha x≥-5/2, akkor
2x + 5 = 7
2x = 2
x = 1
II. ha x<-5/2, akkor
-(2x + 5) = 7
-2x - 5 = 7
-2x = 12
x = -6
Tehát a feladatunknak két megoldása van
x1= 1 és x2= -6

e102.)
Oldjuk meg az ∣2x - 5∣ = 2x - 5 egyenletet!
∣2x + 5∣ = 2x + 5
I.   (2x + 5) ha 2x + 5≥0      2x≥-5      x≥-5/2
II. -(2x + 5) ha 2x + 5<0      2x<-5      x<-5/2
I. ha x≥-5/2, akkor
2x + 5 = 2x + 5 (azonosság)
II. ha x<-5/2, akkor
-(2x + 5) = 2x + 5
ellentmondás, nincs megoldása.
Tehát az ∣2x + 5∣ = 2x + 5 egyenletnek a megoldása:
x ≥ -5/2

e120.)
Oldjuk meg a log(x + 5) = 1 egyenletet!
lg(x + 5) = 1
A logaritmus miatt kikötést kell tennünk: x + 5 > 0    x > -5
lg(x + 5) = lg 10
A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ez akkor és csak akkor teljesül, ha (azaz elhagyhatjuk a logaritmusokat)
x + 5 = 10
x = 5
Tehát a lg(x + 5) = 1 egyenletnek (a valós számok halmazán, mert mást nem adtunk meg) a megoldása: x = 5

e121.)
A 0,2 lgx = 0,8 lg2 egyenletnek van-e megoldása a természetes számok között?
0,2 lgx = 0,8 lg2    / · 5
lgx = 4 lg2
lgx = lg16
A tízes alapú logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt a logaritmust elhagyhatom:
x = 16
Tehát a logaritmikus egyenletnek van gyöke a természetes számok halmazán.


Algebra feladatok megoldásai


Algebrai kifejezések összevonása

a1.)
  7a + (a + 3b - 2c) + (2a + b) =    (ha a zárójel előtt + jel van, akkor az előjelek nem változnak)
     =7a + a + 3b - 2c + 2a + b =    (egymás mellé gyűjtöm az egyforma változókat tartalmazó kifejezéseket)
     = 7a + a + 2a + 3b + b - 2c =
     = 10a + 4b - 2c

a2.)
   5a - (a + 2b - 2c) - (-a - 3b + 2c) =    (ha a zárójel előtt -jel áll, akkor az előjeleik ellentétjükre változnak)
     = 5a - a - 2b + 2c + a + 3b - 2c =    (megint egymás mellé gyűjtöm őket)
     = 5a - a + a - 2b + 3b + 2c - 2c = 5a + b

a3.)
  2a - 3b + 8 - (a - 3b) =
     =2a - 3b + 8 - a + 3b = 2a - a - 3b + 3b + 8 = a + 8

a4.)
  7a - 2b + 15 - (6a + 8) + (2b - 7) =
     =7a - 2b + 15 - 6a - 8 + 2b - 7 = 7a - 6a - 2b + 2b + 15 - 8 - 7 = a

a5.)
  3a2 - a - (2a2 - 5) + (2a - 4) =
     =3a2 - a - 2a2 + 5 + 2a - 4 = 3a2 - 2a2 - a + 2a + 5 - 4 = a2 + a + 1

a6.)
  7x2 + z3 - (y3 - 2y) - (7x2 + 2y) =
     =7x2 + z3 - y3 + 2y - 7x2 - 2y = 7x2 - 7x2 + z3 - y3 + 2y - 2y = z3 - y3

a7.)
  2x2 - (x2 - xy - y2) - (xy2 + y2) =
     =2x2 - x2 + xy + y2 - xy2 - y2 = 2x2 - x2 + xy + y2 - y2 - xy2 = x2 + xy - xy2

a8.)
  2(2a + 3b) + 3(a - 2b) =      (tagonként beszorzom)
     = 4a + 6b + 3a - 6b =       (egymás mellé gyűjtöm)
     = 4a + 3a + 6b - 6b = 7a

a9.)
  8(x - 2y) - 2(4x + 3y) =
     =8x - 16y - 8x - 6y = 8x - 8x - 16y - 6y = -22y

a10.)
 3(3 - x) - 2(4 - x + y) + (x - y) =
     =9 - 3x - 8 + 2x - 2y + x - y = 9 - 8 - 3x + 2x + x - 2y - y = 1 - 3y

a11.)
  (-3)(-a + c) - 4(a - 2c) =
     =3a - 3c - 4a + 8c = 3a - 4a - 3c + 8c = -a + 5c

a12.)
  2x(3x + 2y) - 3x(2x - y) =
     (2x)(3x) + (2x)(2y) - (3x)(2x) + (3x)(y) = 6x2 + 4xy - 6x2 + 3xy=7xy
(a"+(3x)(y)"a(-3x) · (-y)- ból jött ki, mert ha azonosak az előjelek, akkor mindig + lesz az eredményünk előjele)

a13.)
  3a(a2 - 2a + ab) - 2a2(a - 3 + b) =
     =3a3 - 6a2 + 3a2b - 2a3 + 6a2 - 2a2b = 3a3 - 2a3 - 6a2 + 6a2 + 3a2b - 2a2b = a3 - a2b

a14.)
  (-2f)(2f2 - fg + 3g2) + f(5f2 - 2fg + 6g2) =
     = -4f3 + 2f2g - 6fg2 + 5f3 - 2f2g + 6fg2 = -4f3 + 5f3 + 2f2g - 2f2g - 6fg2 + 6fg2 = f3

a15.)
  x2(x - 3) + x(3x + 7) =
     =x3 - 3x2 + 3x2 + 7x = x3 - 7x

a16.)
  4x(x3 + x2 - 2x + 3) - 2(2x3 - 3x2 + 6x) - 2x(x3 - x) =
     =4x4 + 4x3 - 8x2 + 12x - 4x3 + 6x2 - 12x - 2x4 + 2x2 =
     = 4x4 - 2x4 + 4x3 - 4x3 - 8x2 + 6x2 + 2x2 + 12x - 12x = 2x4

Bontsuk fel a zárójeleket (azaz végezzük el a kijelölt szorzásokat), és utánna vonjuk össze a következő kifejezéseket.

a17.)
  (2a + 8)(a - 4) =
     =2a · a - 2a · 4 + 8 · a - 8 · 4 =    (minden tagot minden taggal szorzok)
     =2a2 - 8a + 8a - 32 = = 2a2 - 32
(Látható, hogy kiválasztottam egy tagot, azzal szoroztam az (a - 4) mindkét tagját, s csak utánna tértem át a (2a + 8) másik tagjával történő szorzásra)

a18.)
  (2a - 3b)(4a - b) =
     =8a2 - 2ab - 12ba - 3b2 =      (a · b = b · a, mert a szorzás kommutatív)
     = 8a2 - 2ab - 12ab - 3b2 = 8a2 - 14ab - 3b2

a19.)
  (5a + 1)(5a2 - a + b)
     = 5a · 5a2 - 5a · a + 5a · b + 1 · 5a2 + 1 · (-a) + 1 · b =
     = 25a3 - 5a2 + 5ab + 5a2 - a + b = 25a3 + 5ab - a + b
(Látható, hogy a kiválasztott taggal következetesen végigszorzok, csak utánna térek át a következőre, így nem lesz kavarodás, tévedés)

a20.)
  (a - 3b)(-a + b) + (a + b)(a + 3b) =
     = -a2 + ab + 3ba - 3b2 + a2 + 3ab + ba + 3b2 =
     = -a2 + a2 + ab + 3ab + 3ab + ab - 3b2 + 3b2 = 8ab

a21.)
  (5x + 4)(2x - 10) - (8 - 2x)(3x - 5) =
     =10x2 - 50x + 8x - 40 - 24x + 40 + 6x2 - 10x = 16x2 - 76x

a22.)
  (2a + 1)2 = (2a + 1)(2a + 1) = 4a2 + 2a + 2a + 1 = 4a2 + 4a + 1

a23.)
  (3x + 5)2 = (3x + 5)(3x + 5) = 9x2 + 15x + 15x + 25 = 9x2 + 30x + 25

a24.)
  (3x - 4)2 = (3x - 4)(3x - 4) = 9x2 - 12x - 12x + 16 = 9x2 - 24x + 16

a25.)
  (4i - k)2 = (4i - k)(4i - k) = 16i2 - 4ik - 4ik + k2 = 16i2 - 8ik + k2

a26.)
  (a3 - 2a)2 = (a3 - 2a)(a3 - 2a) = a6 - 2a4 - 2a4 + 4a4 = a6 - 4a4 + 4a2

a27.)
  (3x + 4)(3x - 4) = 9x2 - 12x + 12x - 16 = 9x2 - 16

a28.)
  (a2+ 1)(a2 - 1) = a4 - a2 + a2 - 1 = a4 - 1

a29.)
  (10a - 2c)(10a + 2c) =100a2 + 20ac - 20ac - 4c2 = 100a2 - 4c2

a30.)
  (9 + x)(9 - x) = 81 - 9x + 9x - x2 = 81 - x2

a31.)
  (a + b)2 + (a - b)2 = a2 + ab + ab + b2 + a2 - ab - ab + b2 = 2a2 + 2b2

a32.)
  (2x + 2)(x - 4) - (x - 3)2 = 2x2 - 8x + 2x - 8 - (x2 - 6x + 9) = 2x2 - 6x - 8 - x2 + 6x - 9 = x2 - 17

Alakítsuk szorzattá a megadott szorzótényező szerint:

a33.)
  -x + 3y - 10z = (-1) (    ) = (-1)(x - 3y + 10z)

a34.)
  5x2 - 5xy = (-5)(    ) = (-5)(-x2 + xy)

a35.)
  5x2 - 7xy - 2x3 = (-x)(    ) = (-x)(-5x + 7y + 2x2)

Alakítsuk szorzattá

a36.)
  3a2 - 21ab + 9b2 = 3(a2 - 7ab + 3b2)

a37.)
  7x2 - 21xy - 14xz = 7x(x - 3y - 2z)

a38.)
  20f2g + 10g2 + 100g = 10g(2f2 + g + 10)

a39.)
  2a3 + 8a2 - 16a = 2a(a2 + 4a - 8)

a40.)
  3x5 - 15x3 - 9x2 = 3x2(x3 - 5x - 3)

a41.)
  a4b2c + 2a3bc + 7a2b = a2b(a2bc + 2ac + 7)

a42.)
  2r2π + 2rπh = 2rπ(r + h)

Alakítsuk szorzattá a nevezetes azonosságok segítségével

a43.)
  a2 - 9 =
     Az a2-ből már gyanúsnak kell lenni, hogy az a2 - b2 = (a + b)(a - b)
      azonosságot kell használnom (és a 9 is a 3 négyzete), azaz b2 = 9 → b = 3)
     a2 - 9 = (a + 3)(a - 3)

a44.)
  x2 - 10 000 =
     Használt azonosság: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
     a2 → x2  (a → x)
     b2 → 10 000  (b → 100)
     x2 - 10 000 = (x + 100)(x - 100)

a45.)
  49 - 16g2 =
     Használt azonosság: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
     a2 → 49  (a → 7)
     b2 → 16g2  (b → 4g)
     49 - 16g2 = (7 + 4g)(7 - 4g)

a46.)
  4a2 - 25b2 =
     Használt azonosság: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
     a2 → 4a2  (a → 2a)
     b → 25b2  (a → 5b)
     4a2 - 25b2 = (2a + 5b)(2a - 5b)

a47.)
  x4 - y4 =
     Használt azonosság: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
     a2 → x4  (a → x2)
     b2 → y4  (b → y2)
     x4 - y4 = (x2 + y2)(x2 - y2)

a48.)
  x2 + 4x + 4 =
     Használt azonosság: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
     a2 → x2   (a → x)
     b2 → 4   (b → 2)
     x2 + 4x + 4 = (a + b)2 = (a + b)(a + b)

a49.)
  x2 + 20x + 100 =
     Használt azonosság: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
     a2 → x2   (a → x)
     b2 → 100   (a → 10)
     x2 + 20x + 100 = (x + 10)2 = (x + 10)(x + 10)

a50.)
  a2 - 4a + 4 =
     Használt azonosság: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
     a2 → a2(a → a)
     b2 → 4 (b → 2)
     a2 - 4a + 4 = (a - b)2 = (a - b)(a - b)

a51.)
  a2 - 200a + 10 000 =
     Használt azonosság: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
     a2 → a2 (a → a)
     b2 → 10 000 (b → 100)
     a2 - 200a + 10 000 = (a - 100)2 = (a - 100)(a - 100)

a52.)
  4a2 + 12ab + 9b2 =
     Használt azonosság: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
     a2 → 4a2 (a → 2a)
     b2 → 9b2 (b → 3b)
     4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2 = (2a + 3b)(2a + 3b)

a53.)
  100a2 + 40ab + 4b2 =
     Használt azonosság: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
     a2 → 100a2 (a → 10a)
     b2 → 4b2 (b → 2b)
     100a2 + 40ab + 4b2 = (10a + 2b)2 = (10a + 2b)(10a + 2b)

a54.)
  64a2 - 16ab + b2 =
     Használt azonosság: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
     a2 → 64a2 (a → 8a)
     b2 → b2 (b → b)
     64a2 - 16ab + b2 = (8a - b)2 = (8a - b)(8a - b)

Polinomok osztása

a55.)
  (x2 + 9x + 14) : (x + 2) =
     (x2 + 9x + 14) : (x + 2) = x + 7
    -(x2 + 2x)
              7x + 14
           -(7x + 14)
                  0
(először látom, hogy x2 : x az x-et ad, ezzel visszaszorzok, és ezt kivonom, majd ehhez hozzáírom a 14-et
(mint rendes osztásnál). 7x-ben az x 7-szer van meg, visszaszorzom, mivel nincs maradék, készen is vagyunk)

a56.)
  x2 + 2x - 15) : (x - 3) =
     x2 + 2x - 15) : (x - 3) = x + 5
   -(x2 - 3x)
            5x - 15
         -(5x - 15)
              0

a57.)
  (x2 - 7x + 10) : (x - 2) =
     (x2 - 7x + 10) : (x - 2) = x - 5
   -(x2 - 2x)
           -5x + 10
        -(-5x + 10)
                0

a58.)
  (x3 - 2x2 - 17x + 10) : (x - 5) =
     (x3 - 2x2 - 17x + 10) : (x - 5) = x2 + 3x - 2
   -(x3 - 5x2)
            3x2 - 17x
         -(3x2 - 15x)
                    -2x + 10
                  -(-2x + 10)
                         0

a59.)
  (x3 - 6x2 - 11x + 10) : (2x + 4) =
     (x3 - 6x2 - 11x + 10) : (2x + 4) = x2/2 - 4x + 5/2
   -(x3 + 2x2)
          - 8x2 - 11x
        -(-8x2 - 16x)
                     5x + 10
                   -(5x + 10)
                            0

a60.)
  (x4 - 24x2 + 128) : (x + 4) =
      (x4           - 24x2         + 128) : (x + 4) = x3 - 4x2 - 8x + 32
    -(x4 + 4x3)
             -4x3 - 24x2
          -(-4x3 - 16x2)
                       -8x2
                    -(-8x2 - 32x)
                                32x + 128
                              -(32x + 128)
                                             0
(mivel nincs x3-ös és x-es tag,ezért ezeket 0-nak vettem (és nem írtam ki))

a70.)
Egyszerüsítsük a következő törtet:
(x2 - 2x + 1)/(x2 - 1)

Használt képletek:
(x - 1)2 = x2 - 2x + 1
x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
(x2 - 2x + 1)/(x2 - 1) = (x - 1)(x - 1)/(x - 1)(x + 1) = (x - 1)/(x + 1)

a71.)
Határozzuk meg a 75 · 7-3 · 74 / 7-2 · 76 kifejezés értékét.
75 · 7-3 · 74 / 7-2 · 76 = 76 / 74 = 72 = 49

a72.)
Hozzuk egyszerűbb alakra az (x + 7)2 / (x2 - 49) kifejezést.
Használt képlet:
(x + a)2 = (x + a)(x + a)
x2 - a2 = (x + a)(x - a)

(x + 7)2 / (x2 - 49) = (x + 7)(x + 7) / (x + 7)(x - 7) = (x + 7) / (x - 7)


Halmazok


h1.)
{magyar folyók} Ennek a halmaznak a halmazelméletben szokásos jelölésére írjunk példákat.
{Azon x elemek, amelyekre teljesül: x magyar folyó}
(rövid jelölése:)
{x∣x magyar folyó}

h2.)
Üres halmazra írjunk példát.
pl: H := {Azon x valós számok, amelyekre teljesül: x2 = -25}
Ezzel a tulajdonsággal leírt halmaznak nincs eleme, tehát ez üres halmaz.

h3.)
{30 és a 100 közötti páros számok}
Jelöljük röviden ezt a halmazt!
{x∣x természetes szám, x páros, 30 < x < 100}

h4.)
{ ..., -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
{x∣x egész szám, x páros}

h5.)
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
{x∣x természetes szám, x prímszám}

h6.)
{1, 3, 5, 7, 9 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
{x∣x természetes szám, x páratlan, x < 30}

h7.)
{2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, ...} Jelöljük röviden ezt a halmazt!
{x∣x Természetes szám, x páros vagy 7-tel osztható}

h8.)
{ ..., (-2, -6), (-1, -3), (0, 0) , (1, 3), (2, 6), (3, 9), ... } Jelöljük röviden ezt a halmazt!
{(x, y)∣x, y egész szám és y = 3x}

h9.)
H := {x∣xϵR, ∣x∣ < 2} halmaznak mi a jelentése?
A H jelenti, a kettőnél kisebb abszolút értékű valós számok halmazát.

h10.)
H := {Azon x elemek, amelyekre teljesül: x magyar város}
B := {Azon x elemek halmaza, amelyekre teljesül: x magyar város}
A H vagy a B halmaznak van több eleme?

A H halmaz elemei a magyar városok. A B halmaznak egy eleme van, az előző (H) halmaz, azaz (B = {H})
Tehát a H halmaznak van több eleme.

h11).
H ≔ {a, b, c, x, y} és B ≔ {c, g, y, z}
Adjuk meg H∩B-t!

(Halmazok metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az adott halmazok mindegyikében benne vannak:)
H∩B = {c, y}

h12.)
Ha H := {a, b, c, x, y} és B := {c, x, y, z, 1 }, akkor adjuk meg H∪B-t.
(Két halmaz uniója (egyesítettje) azon elemeknek a halmaza, amelyek az adott halmazok közül legalább az egyikben benne vannak:)
H∪B = {a, b, c, x, y, z, 1}

h13.)
A ≔{x∣x természetes szám, x öttel osztható, 8 < x < 34}
B ≔{x∣x természetes szám, x hárommal osztható, 8 < x < 34}
Hány elemű   a) A ∩ B,   és   b) A ∪ B?

A = {10,15, 20, 25, 30}
B = {9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33}
a)
∣A ∩ B∣ = 2
Tehát A és B halmaz metszetének két eleme van (15, 30)
b.)
∣A∪ B∣ = 12
Tehát A és B halmaz uniójának 12 eleme van (9, 10, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 30, 33)

h14.)
H ≔{a, b, c} K ≔{x, y} Adjuk meg H és K halmaz Descartes - féle szorzatát.
H x K = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}

h15.)
H1≔ {a, b}    H2≔ {1, 2}    H3≔ {x, y, z}    Adjuk meg H1, H2, és H3 halmaz descartes féle szorzatát.
H1 x H2 x H3 = {(a, 1, x), (a, 1, y), (a, 1, z), (a, 2, x), (a, 2, y), (a, 2, z), (b, 1, x), (b, 1, y), (b, 1, z), (b, 2, x), (b, 2, y), (b, 2, z)}

h16.)
A ≔{2, 3, 100}
Hány elemű az A x A halmaz?

∣A x A∣ = 3 · 3 = 9
Tehát az A x A halmaz 9 elemű.

h17.)
A ≔{2, 7}   B ≔{3, 4, 9, 10, 1000}
Hány elemű az A x B halmaz?

∣A x B∣ = 2 · 5 = 10
Tehát az A x B halmaznak tíz eleme van.

h18.)
A ∖ B = B ∖ A egyenlőség milyen A, B halmazok esetén áll fenn?
A ∖ B-nek az olyan A halmazbeli elem az eleme, amely B-nek pedig nem.
B ∖ A-nak az olyan B halmazbeli elem az eleme, amely A-nak pedig nem.
Ez csak egy esetben lehet, ha:
A ∖ B = B ∖ A = ø
Tehát A = B.

h19.)
Igazoljuk, hogy H ∖(A ∪ E) = H ∩ Ā ∩Ē tetszőleges H, A, E halmazra.
H ∖ E = H ∩ Ē és a De Morgan-törvény
_____
A ∪ E = Ā ∩ Ē       azonosságát felhasználva a megoldás:
H∖(A ∪ E) =
.          ______
= H ∩(A ∪ E) = H ∩(Ā ∩ Ē) = H ∩ Ā ∩ Ē

h20.)
Ha A ≔{x∣x∊R,∣x∣< 5}, E ≔{x∣x∊R, x > 0}, akkor adjuk meg a Ā, Ē, A ∩ E, A ∪ E, A ∖ E halmazokat.
Ā = {x∣x∊R,∣x∣ ≧ 5}
Ē = {x∣x∊R, x ≦ 0}
A∩E = {x∣x∊R, 0 < x < 5 }
(Tehát A és E közös elemei az ötnél kisebb pozitív valós számok)
A ∪ E = {x∣x∊R, x > - 5}
A ∖ E = {x∣x∊R, - 5 < x ≦ 0}
(Tehát A-nak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem tartoznak E-hez)

h21.)
A ≔ {a, b, c, d},   B ≔ {d, e, f, g, h}
A és B diszkjunkt halmazok-e?

A és B akkor diszkjunkt, ha nincs közös elemük: A ∩ B = ø.
A és B közös eleme d, tehát A és B nem diszkjunkt halmazok.


Kombinatorika


k1.)
Mennyi 6 elem ismétlés nélküli permutációinak a száma?
Pn = n!
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Tehát 6 elem ismétlés nélküli permutációinak a száma: 720.

k2.)
Hány féleképpen lehet sorbarendezni x,y,z betűket úgy, hogy csak egyszer hasznáhatunk fel minden betűt?
Ismétlés nélküli permutációnak nevezzük adott n különböző elem minden lehetséges sorrendjét.
Száma: n!
xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx
Tehát 6 féleképpen lehet: 3! = 3 · 2 · 1 = 6

k3.)
Egy 5 tagú baráti kör hányféleképpen állhat sorban az újságárusnál?
Az egy sorban való elrendezés lehetőségeinek számát, az 5 elem összes permutációival adhatjuk meg:
Pn = n!
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Tehát ők öten 120 féleképpen állhatnak be a sorba.

k4.)
Hány ötjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből?
Az öt szám összes permutációinak a számát kell kiszámolnunk:
Pn = n!
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
(Mert az első számjegyre 5 számjegy közül választhatunk, a másodiknál már csak 4 marad, a harmadikra 3, negyedikre 2, az ötödikre már csak 1 marad, szorzás pedig azért van közöttük, mert ezek egymástól független események, így: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!)
Tehát 120 ötjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből.

k5.)
Hány ötjegyű szám képezhető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből?
Az öt elem összes permutációinak a száma:
Pn = n!
P5 = 5! = 120   de a 0-val kezdődő permutációk számát ebből le kell vonnunk, mert a 0-val kezdődő számokat nem tekintjük 5 jegyű számoknak, ezért az 5 elem összes permutációinak számából le kell vonni a 0-val kezdődő permutációk számát. A 0-val kezdődő permutációk száma megegyezik az utánna álló elemek permutációinak a számával: P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
P5 - P4 = 120 - 24 = 96
Tehát a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből 96 ötjegyű szám képezhető.

k7.)
Bizonyítsuk be a teljes indukció módszerével, hogy Pn = n!
Pn = n! bizonyítása a teljes indukció módszerével:
1.)
n = 1-re az állításunk igaz, hiszen egy elemet csak egyféleképpen tudunk elrendezni. (P1 = 1!)
2.)
feltesszük, hogy Pn-1-re az összefüggés igaz: Pn-1 = (n - 1)!
3.)
az előző felhasználásával bebizonyítjuk, hogy a tétel n-re is érvényes
Az 1, 2, 3, ... , n elem összes permutációit felírva láthatjuk, hogy az első elem annyi permutációban áll az első helyen, amennyi a 2, 3, 4, ... , n elem permutációinak a száma, tehát Pn-1 permutációban. (Pl: 3!-nál 1,2 és 1,3 → 2!)
A második elem is ugyanennyi permutációban áll az első helyen: 1, 3, 4, ... , n elem permutációnak a számában, tehát ez is Pn-1 permutációban,
és így tovább ...
Tehát ha az első helyen álló elem alapján n oszlopban írjuk fel a permutációkat, akkor:
-n oszlopunk van,
-és mindegyik oszlopba Pn-1 számú permutáció került.
Így az n elem összes permutációinak a száma:
Pn = n · Pn-1
Az indukciós feltételezésünk szerint
Pn-1 = (n - 1)!
Tehát Pn = n · (n - 1)! = n!
ezért valóban minden pozitív egész n számra igazoltuk a tételünk.

k10.)
1 zöld, és 2 piros golyót hányféleképpen rendezhetek sorba?
Ismétléses permutációnak nevezzük, ha adott n elem, amely között k1, k2, ... kr egyenlő elem van, és képezzük az adott n elem minden lehetséges sorrendjét.
Száma: n! / k1! · k2! · ... · kr!
zpp, pzp, ppz
Tehát 3 féleképpen: 3! / 1! · 2! = 3 · 2 · 1 / (1) · (2 · 1) = 3

k11.)
Hány hatjegyű szám készíthető a 1, 2, 2, 2, 5, 5 számjegyekből?
használt képlet:
Pn(k1,k2, ... ,kr) = n! / k1! · k2! · ... · kr!
Hat elem ismétléses permutációit kell kiszámítanunk:
k1 = 1
k2 = 3
k3 = 2
n = 6
P6(1,3,2) = ?
P6(1,3,2) = 6! / 1! · 3! · 2! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 1· 6 · 2 = 60
Tehát az 1, 2, 2, 2, 5, 5 számjegyekből 60 féle hatjegyű szám készíthető.

k20.)
Hány permutációja lehetséges a KEVEREK szó betűinek?
használt képlet:
Pn(k1,k2, ... ,kr) = n! / k1! · k2! · ... · kr!
Az elemek (betűk) száma: 7
Ezek között egyezőek is vannak: 3 E betű, két K betű, tehát k1 = 3, k2 = 2
Így a hét elem ismétléses permutációját kell kiszámolnunk:
P7(3, 2, 1, 1) = 7! / 3! · 2! · 1! · 1! = 5040 / 6 · 2 · 1 · 1 = 420
Tehát a KEVEREK szó betűinek 420 permutációja lehetséges

k21.)
A MATEMATIKA szó betűinek hány permutációja lehetséges?
használt képlet:
Pn(k1, k2 ,..., kr) = n! / k1! · k2! · ... · kr!
A tíz elem ismétléses permutációját kell kiszámolnunk:
P10(3, 2, 2, 1, 1, 1) = 10! / 3! · 2! · 2! · 1! · 1! = 151 200
Tehát a MATEMATIKA szó betűinek összesen 151 200 ismétléses permutációja van.

k23.)
Egy piros, egy fehér, és egy zöld golyó közül hányféleképpen húzhatok ki két golyót?
n elem k-ad osztályú Ismétlés nélküli variációjának nevezzük, ha adott n különböző elem közül kiválasztunk k elemet, és ezek permutációját képezzük
Száma: n! / (n-k)! = n(n-1) ... (n-k+1)
(mert az első helyre még az n elem bármelyikét választhatjuk, a másodiknál már csak n-1 lehetőségünk van, ...)
pf, pz, fp, fz, zp, zf
Tehát 6 féleképpen lehet (n=3 k=2): 3! / (3-2)! = 3 · 2 · 1 / 1 = 6

k24.)
Hányféleképpen tölthető ki egy 13+1 sorból álló totószelvény 1,2 és x használatával?
Az adott k hely első helyére az n elem közül bármelyiket választhatjuk. Ezt az elemet - mivel ismétléses variációról van szó - a második helyére megint választhatjuk, így a második helyre is n elem közül választhatunk. Ez így megy tovább a k helyig. (ezek egymástól független események, így "szorzással kapcsolódnak")
Tehát a k helyet n(1) · n(2) · ... · n(k) módon tudjuk kitölteni, azaz az n elemű halmaz k- tagú ismétléses variációinak a száma Vnk(i):
Vnk(i) = n(1) · n(2) · ... · n(k) = nk
Itt n=3 és k=14, tehát 314 féleképpen lehet= 4782969

k25.)
Hány négyjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből (ha egy számot többször is felhasználhatunk)?
Vnk(i) = nk
A megoldást a 7 számjegyből képezhető 4 tagú ismétléses variációk száma adja meg:
V74(i) = 74 = 2401
(Mert az első számjegyre hét választási lehetőségünk van, de a másodikra, a harmadikra, a negyedikre is, mert egy számot többször is felhasználhatok, a szorzás pedig azért van közöttük, mert ezek egymástól független események, így: 7 · 7 · 7 · 7 = 74)
Tehát a 7 számjegyből 2401 db 4 jegyű szám készíthető.

k26.)
Hány hatjegyű szám készíthető az 1, 2, 3 számjegyekből?
Vnk(i) = nk
V36(i) = 36 = 729
Tehát 729 hatjegyű szám készíthető a három számjegyből.

k27.)
Hány hatjegyű szám készíthető a 0, 1, 2 számjegyekből?
Vnk(i) = nk
V36(i) = 36 = 729 hatjegyű szám készíthető három számjegyből, de a nulla mögötti számokat nem tekintjük hatjegyű számnak, ezért ebből le kell vonni a nulla mögött álló ötjegyű számok (azaz "nem számok") (V35(i) = 243) számát:
V36(i) - V35(i) = 729 - 243 = 486
Tehát (ténylegesen) 486 db hatjegyű szám készíthető ebből a három számjegyből.

k30.)
Piros, fehér, zöld golyók közül kettőt hányféleképpen tudok kiválasztani?
n elem k-ad osztályú Ismétlés nélküli kombinációjának nevezzük, ha adott n különböző elemből kiválasztunk (minden lehetséges módon) k elemet úgy, hogy egy elem csak egyszer választható, és az elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel
Száma: n alatt a k = n! / k! (n-k)!
piros-fehér, piros-zöld, fehér-zöld
Tehát 3 féleképpen (n=3 k=2): 3! / 2! (3-2)! = 3 · 2 · 1 / 2 · 1 · 1 = 3

k31.)
Egy piros, egy fehér, és egy zöld golyó közül kiveszünk kettőt úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kivett golyót. Hányféle színösszeállítása lehet a kihúzott golyóknak?
n elem egy egy k-ad osztályú Ismétléses kombinációjának nevezzük, ha n különböző elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is választható, és az elemek sorrendjét nem vesszük figyelembe
Száma: n+k- 1 alatt a k
pp, pf, pz, zz, zf, ff
Tehát 6 féle lehet (n=3 k=2): 3+2-1 alatt a 2 = 4! / 2! (4-2)! = 4 · 3 · 2 · 1 / 2 · 1 · 2 · 1 = 6

k35.)
A Binominális tétel segítségével adjuk meg (1+1)n értékét.
(1+1)n = (n0) + (n1) + (n2) + ... + (n0) = 2n
(Ez megmutatja, hogy a Pascal- féle háromszög n-edik sorában lévő együtthatók (a számok) összege 2n).

k36.)
(1 - 3x)5-t a Binominális- tétel segítségével állítsuk elő!
(1-3x)5 = 1 - (51)3x + (52)9x2 - (53)27x3 + (54)81x4 - 243x5 = 1-15x+90x2-270x3+405x4-243x5


Sorozatok


s1.)
1, 3, 5, 7, ... számtani sorozat csökkenő, vagy növekvő?
3 - 1 = 5 - 3 = 7 - 5 = ... = 2 = differencia(v. különbség)
Ha a sorozat különbsége
d > 0, akkor a számtani sorozat növekvő.
Tehát mivel d = 2 (2 > 0) ezért a számtani sorozatunk növekvő.

s2.)
10, 4, -2, -8, ... számtani sorozat csökkenő, vagy növekvő?
4 - 10 = -2 - 4 = -8 - (-2) = ... = -6 = d
Tehát mivel d < 0, ezért a számtani sorozatunk csökkenő.

s3.)
Számítsuk ki az 1, 6, 11, 16, ... számtani sorozatunk 10. elemét(tagját).
Használt képlet:
an = a1 + (n - 1)d
a1 = 1
n = 10
d = ?
an = ?
6 - 1 = 11 - 6 = 16 - 11 = ... = 5 = d
d = 5
a10 = a1 + (n - 1)d
a10 = 1 + (10 - 1)5
a10 = 1 + 9 · 5
a10 = 46
Tehát a sorozat 10. eleme 46 lesz.

s4.)
2, 5, 8, 11, ... számtani sorozat első 10 tagjából képzett számtani sornak mennyi lesz az összege?
Használt képlet:
Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)
a1 = 2
n = 10
d = ?
sn = ?
5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = ... = 3 = d
d = 3
s10 = (10/2)(2 · 2 + 9 · 3)
s10 = 5(4 + 27) = 5 · 31
s10 = 155
Tehát a számtani sorozat első 10 tagjából(eleméből) képzett számtani sor összege: 155.

s5.)
Egy számtani sorozat ötödik tagja 70, a kilencedik tagja pedig 100. Adjuk meg a sorozat
a.) különbségét
b.) első elemét

Használt képlet:
an = a1 + (n - 1)d
a5 = 60
a9 = 100
a1 = ?
a5 = a1 + 4d
a9 = a1 + 8d
I.  a1 + 4d = 60
II. a1 + 8d = 100
Van két egyenletem két ismeretlennel:
a másodikból kivonom az elsőt:
4d = 40
d = 10
ezt valamelyikbe visszahelyettesítem:
a1 + 40 = 60
a1 = 20
Tehát 20 a számtani sorozatunk első tagja(eleme), a különbsége pedig 10.

s6.)
Egy számtani sorozat negyedik tagja 70. A sorozat 11. tagja 30-cal nagyobb a 8. tagjánál. Mekkora a sorozat első tagja?
a4 - a1 = a11 - a8 = 30 (mert a képzés módja miatt u.a. a különbség a három elem között)
(a4 az 70, a1 ennél 30-cal kisebb.)
Tehát a1 = 40

s7.)
Egy számtani sorozat harmadik tagja 60, a sorozat 9. tagja 20-szal kisebb a 7. tagjánál. Mekkora a sorozat első tagja?
Az előző gondolatmenetet használom itt is (csak d < 0)
a3 - a1 = a9 - a7 = -20
Tehát a1 = 80

s8.)
Egy számtani sorozat 5. tagja 20. Adjuk meg az első 9 tag összegét.
Használt képlet:
Sn = (n/2)(a1 + an)
S9 = 9(a1 + a9)/2
Erre az alakra átírva észrevesszük, hogy (a1 + a9)/2 = a5
Így S9 = 9 · 20 = 180
Tehát az első 9 tagnak 180 az összege.

s9.)
Egy számtani sorozatról azt tudjuk, hogy a2 + a3 + 4 = 240 és a9 + a11 = 440
Kérdés:
a) d = ?,    b) a1 = ?

Használt képlet:
an = a1 + (n - 1)d
a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = 3a1 + 6d = 240
a1 + 8d + a1 + 10d = 2a1 + 18d = 440
Van két egyenletem két ismeretlennel:
I.  3a1 + 6d = 240
II. 2a1 + 18d = 440
(Az első egyenletet 3-mal szorzom és kivonom belőle a másodikat)
9a1 + 18d = 720
2a1 + 18d = 440
7a1 = 280
a1 = 40
Ezt behelyettesítve megkapom d-t:
2 · 40 + 18d =440
            18d = 360
                d = 20
Tehát d = 20 és a1 = 40

s10.)
Egy sakkverseny résztvevői között 36 000 Ft jutalmat osztottak szét, úgy hogy az első 6000 Ft-ot kapott, és minden további helyezett ennél 500-500 Ft-tal kevesebbet.
a.) Igazat mondott -e a sportvezető, hogy a versenyen 10 játékos vett részt?
b.) Hány forintot kapott az utolsó helyezett?

Használt képlet:
sn = n/2(2a1 + (n - 1)d)
a.)
a1 = 6000 Ft
d = -500 Ft
sn = 3600 Ft
n = ?
2sn = 2a1n + n2d - nd
dn2 + (2a1 - d)n - 2sn = 0 másodfokú egyenletet kaptuk.
-500n2 + (2 · 6000 + 500)n - 2 · 36 000 = 0
n2 - 25n2 + 144 = 0     ebből:
n1 = 9
(n2 = 16 ez a feladatnak láthatóan nem felelhet meg (nem kapnának az utolsók, hanem nekik kellene fizetni).
n = 9
b.)
Használt képlet:
an = a1 + (n -1)d
a9 = 6000 + 8(- 500)
a9 = 2000
Tehát a sportvezető tévedett, mert a sakkversenynek 9 résztvevője volt (első helyezett 6000 Ft-ot kapott, a második 5500 Ft-ot, majd 5000, 4500, 4000, 3500, 3000, 2500, 2000 volt a sorrend.)
Tehát az utolsó helyezett 2000 Ft jutalmat kapott.

s20.)
Számítsuk ki a 3, 6, 12, ... mértani sorozat kvóciensét(hányadosát)
Használt képlet
an = an-1q
an/an-1 = q
6/3 = 12/6 = 2
Tehát q = 2

s21.)
Számítsuk ki a 3, 6, 12, ... mértani sorozat 7. elemét.
Használt képlet:
an = a1qn-1
a1 = 3
a2 = 6
a3 = 12
q = ?
a7 = ?
q = 6/3 = 12/6 = 2
a7 = a1 · q7-1 = 3 · 26 = 3 · 64 = 192
Tehát a mértani sorozat hetedik tagja a7 = 192

s22.)
Számítsuk ki a 2, 6, 18, ... mértani sorozat első 5 elemének az összegét!
Használt képlet:
Sn = a1(qn - 1) / (q - 1)
a1 = 2
a2 = 6
a3 = 18
q = ?
S5 = ?
q = 6 / 2 = 18 / 6 = 3
S5 = 2 · (35 - 1) / (3 - 1) = 2(243 - 1) / 2 = 242
Tehát a mértani sorozatunk első 5 elemének az összege: 242

s23.)
Egy mértani sorozat harmadik eleme -7, hatodik eleme 7. Mennyi az első 10 elem összege?
Mivel a páratlan elemek negatív, a párosok pedig pozitív előjelűek, ezért q = -1. Ekkor a páros elemszámú összegek értéke 0.
Tehát s10 = 0

s24.)
Egy mértani sorozat harmadik és ötödik eleme is -9. Mennyi lehet az első 8 elem összege?
q = 1 vagy q = -1 lehet a hányados.
Ha q = 1, akkor s8 = 8 · (-9) = -72
Ha q = -1, akkor (mivel 8 páros szám, és -9 + 9 = 0) s8 = 0

s25.)
a1 = 3 és a5 = 48
Számítsuk ki a mértani sorozat hányadosát, és az első 5 elemének az összegét.

Használt képlet:
an = a1qn-1
Sn = (a1 - anq) / (1 - q)
a1 = 3
a5 = 48
q = ?
S5 = ?
qn-1 = an / a1
q = n-1√¯(an / a1)
q = 5-1√¯(a5 / a1) = 4√¯(48 / 3) = 4√¯16 =2
S5 = (a1 - a5q) / (1 - 2) = (3 - 48 · 2) / (- 1) = 93
Tehát a mértani sorozat hányadosa 2, és az első 5 tagjának(elemének) az összege 93.

s26.)
a1 = 54, a4 = 2, számítsuk ki a mértani sorozat hányadosát, és az első 4 tagjának (elemének) az összegét.
Használt képlet:
an = a1qn - 1
Sn = (a1 - anq) / (1 - q)
a1 = 54
a4 = 2
q = ?
S4 = ?
q = n - 1√¯(an / a1) = 4 - 1√¯(a4 / a1) = 3√¯(2/54) =3√¯(1/27) =
Sn = (54 - 2 · ⅓) / (1 - ⅓) = (54 - ⅔) / ⅔ = 16/3 · 3/2 = 80
Tehát a mértani sorozat hányadosa ⅓, az első négy tagjának az összege pedig 80

s27.)
q = ⅓, n = 6, a6 = 4, számítsuk ki a mértani sorozat első tagját, és az első 6 tagjának az összegét!
Használt képletek:
an = a1qn-1
Sn = (a1 - anq) / (1 - q)
a6 = 4
q = ⅓
n = 6
a1 = ?
S6 = ?
a1 = an / qn-1
a1 = a6 / q5 = 4 / (1/3)5 = 4 · 35 = 4 · 243 = 972
S6 = (972 - 4 · ⅓) / (1 - ⅓) = (2912 / 3) · 3/2 = 1456
Tehát a mértani sorozat első eleme 972, és az első hat elemének az összege pedig 1456.

s28.)
q = 3, n = 5, S5 = 242
Számítsuk ki a mértani sorozat első és az 5. tagját.
q = 3
n = 5
S5 = 242
a1 = ?
Használt képletek
Sn = a1(qn - 1) / (q - 1)
an = a1qn-1
a1 = Sn(q - 1) / (qn- 1)
a1= S5(q - 1) / (q5- 1) = 242 · 2 / (35- 1) = 484 / 242 = 2
a5 = a1 · q5-1 = 2 · 34 = 162
Tehát a mértani sorozat első tagja 2, az 5. tagja pedig 162.

s29.)
a3 - a2 = 15,    a3 - a1 = -15    Adjuk meg a mértani sorozat első tagját!
Használt képlet:
an = a1 · qn-1
minden elemét(tagját) kifejezem a1-gyel, és q-val:
a1q2 - a1q = 15      a1q2 - a1 = -15
a1q(q - 1) = 15      a1(q2 - 1) = -15
van két egyenletünk két ismeretlennel:
I.    a1q(q - 1) = 15
II. a1(q - 1)(q + 1) = -15
Az elsőt a másodikkal elosztva:
q/(q + 1) = -1
q = -q - 1
2q = -1
q = -1/2
ezt behelyettesítve pl. a1(q2 - 1) = -15-be
a1 · (¼ - 1) = -15
a1 · (-¾) = -15    /: (-¾)
a1 = (-15) · (-4/3)
a1 = 20
Tehát 20 a mértani sorozatunk első eleme.

s30.)
Egy mértani sorozat negyedik tagja hárommal nagyobb a harmadik tagjánál, szorzatuk pedig: -2. Adjuk meg a sorozat első tagját!
Használt képletek:
an = an-1 · q
an = a1 · qn-1
a3 + 3 = a4 (mivel a negyedik tag hárommal nagyobb)
a3 · a4 = -2
behelyettesítve:
a3 · (a3 + 3) = -2
a32 + 3a3 + 2 = 0
A másodfokú egyenlet megoldóképletével
x1,2 = (-3 ±√¯(9 - 4 · 2))/2
x1 = (-3 + 1)/2 = -1
x2 = (-3 - 1)/2 = -2
x1 = -1 esetben
a3 = -1-et behelyettesítem:
a3 + 3 = a4
-1 + 3 = a4
2 = a4
an = an-1q
a4 = a3q
a4/a3 = q
2/-1 = -2 = q
a3 = a1q2
-1 = 4 a1
a1 = -¼
Tehát első esetben -¼ a sorozatunk első tagja.
Ha x2 = -2-vel, akkor
a3 = -2-őt helyettesítem be:
a3 + 3 = a4
-2 + 3 = a4
a4 = 1
an = an-1q
a4 = a3q
a4/a3 = q
1/(-2) = q
q = -1/2
a3 = a1q2
-2 = a1 · ¼
a1 = -8
Tehát a második esetben -8 a sorozatunk első tagja.

s32.)
q = 3, an = 405, Sn = 605. Hány elemű a mértani sorozat?
használt képletek:
Sn = (anq - a1)/(q - 1)
an = a1qn-1
q = 3
an = 405
Sn = 605
n = ?
an q - a1 = Sn(q - 1)
a1 = anq - Sn(q - 1)
a1 = 405 · 3 - 605(3 - 1) = 1215 - 1210 = 5
an = a1qn-1
qn-1 = an/a1 = 405/5 = 81
3n-1 = 34
Az exponenciális függvény tulajdonságai miatt ez akkor áll fenn, ha
n - 1 = 4
n = 5
Tehát 5 tagú (elemű) a mértani sorozatunk.

s33.)
Egy 1 millió Ft értékű berendezés értékcsökkenése - minden évben - az előző évi érték 10%-a. Mekkora lesz a berendezésünk értéke 5 év múlva?
használt képlet:
an = a1qn-1
A beszerzési árat áo-val jelölve, az első év végén (á) a gépünk értéke egy tizedével kevesebb lesz:
á = áo - áo · 10/100 = áo - áo/10 = áo(1 - 1/10) = áo · 9/10
Hasonlóan a következő év végén ez a áo · 9/10 csökken a 9/10 részére:
á = (áo · 9/10) · 9/10
Tehát az első év végén: áo · (9/10)1
a második év végén: áo · (9/10) · (9/10) = áo(9/10)2
Észrevehetjük, hogy ez egy mértani sorozat, amelynek első tagja (áo, a hányadosa pedig 9/10) tehát áo · 9/10
ennek a mértani sorozatnak az ötödik tagját kell kiszámítanunk.
a5 = a1q5-1 = (áo · q1)(q4) = áoq5
a5 = 1000 000 · (9/10)5 = 10 · 95 = 590 490
á = 590 490 Ft
Tehát a berendezésünk a 5. év végén 590 490 Ft-ot ér a könyvelés szerint.
(Általánosan: egy olyan mértani sorozat 5. tagját kellett kiszámítani, amelynek az első tagja: á = áo · 9/10, hányadosa pedig q = (1 - p/100) = 1 - 10/100 = 9/10)


Gráfok


gr1.)
Egy 5 tagú társaságból ketten azt állítják, hogy három embert ismernek, egy azt, hogy kettőt, és ketten pedig azt, hogy egy embert ismernek.
1.) Igazat mondanak-e?
2.) Ha igen, akkor rajzoljuk le gráffal ezt az esetet!

1.) Lehetséges ez az eset, mert a páratlan fokszámú pontok száma páros.
2.) Rajzoljuk fel egy ötszög 5 pontját. (Pozitív irányba körbejárva ezeket megszámozom:
I, II, III, IV, V)
I. Ezt a pontot kössük össze a II, III, IV számú pontokkal (Tehát ennek 3 ismerőse van)
II. Összekötöm a IV, V számú pontokkal, és az I-sel már össze van kötve (Tehát ennek is 3 ismerőse van)
III. Ez az I-sel össze van már kötve (Tehát 1 ismerőse van)
IV. Ez az I-sel, és a II-sel már össze van kötve (Tehát 2 ismerőse van)
V. A II-sel már össze van kötve (Tehát 1 ismerőse van)

gr2.)
Egy síkban megadunk 15 pontot. Ezek közül négy egy (a) egyenesen van, másik 5 egy másik (b) egyenesen, és a maradék hat pedig egy harmadikon (c). Ha egy pontot kiválasztunk az a egyenesről egy másikat a b-ről, és egy harmadikat a c-ről, akkor ez a három pont biztos, hogy nincs egy egyenesen.
Hány egyenes fektethető ezen a 15 ponton keresztül?

Összesen: 3 + 20 + 30 + 24 = 77 egyenes fektethető.
3: az eredeti (a, b, c) egyenesek
20: az a egyenes egy pontjából a b egyenes 5 pontjába tudunk egyenest húzni. Az a egyenes második pontja is a b egyenes 5 pontjával 5 rájuk illeszkedő egyenest ad, és így tovább. Az a egyenes négy és a b egyenes öt pontján keresztül, így 4 x 5 = 20 egyenes húzható.
30: hasonlóan az előzőekhez, a b egyenes 5, és a c egyenes 6 pontja 5 x 6 = 30 egyenest határoz meg.
24: végül az a és a c egyenesről 4 x 6 = 24 olyan pontpár választható amelyen át egyenes fektethető.
Tehát összesen (3 + 20 + 30 + 24 =)77 egyenest kapunk.

gr3.)
Legfeljebb hány kört határoz meg a síkon 7 pont?
Itt először végig kell gondolnunk, hogy a kör körívének hány pontját kell ismernem ahhoz, hogy meg tudjam szerkeszteni a kört: 3-at (mert a két szakaszfelező metszete megadja a kör középpontját, ezt bármelyik pontjával összekötve megkapom a sugarát is)
Így átfogalmazhatom a kérdést: a hét pontból hármat hányféleképpen tudok kiválasztani:
(73) = 7· 6 · 5/1 · 2 · 3 = 35
Tehát legfeljebb 35 kört határoz meg a síkban 7 pont.

gr4.)
Maximum hány gömböt határozhat meg a térben 9 pont?
(Az előzőhöz hasonlóan végiggondolva, a gömbnél arra jutok, hogy 4 pont szükséges a megszerkesztéséhez)
Így azt a kérdést tehetem fel, hogy 9-ből 4 pontot hányféleképpen tudok kiválasztani:
(94) = 9 · 8 · 7 · 6/1 · 2 · 3 · 4 = 126
Tehát maximum 126 gömböt határoz meg a térben 9 pont.


Koordinátageometria


ko1.)
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét amelynek normálvektora n(-3,5) és átmegy a P(7, 6) ponton.
-3x + 5y = -3 · 7 + 5 · 6 = -21 + 30 = 9
Tehát az egyenes egyenlete: 3x - 5y = -9

ko2.)
Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét amely átmegy az A(5, 4)    B(8, 6) pontokon.
Meghatározzuk az egyenes irányvektorát (B koordinátáiból kivonjuk az A koordinátáit):
8 - 5 = 3     6 - 4 = 2
Az egyenes irányvektora: v(3, 2)
Ebből az egyenes normálvektora: n(2, -3)
Az egyenes egyenlete:
2x - 3y = 2 · 5 - 3 · 4 = 10 - 12
2x - 3y = -2
Tehát az egyenes egyenlete: 2x - 3y = -2

ko3.)
a(-1, 3), b(2, 8). Számítsuk ki az a + b, a b - a, és a 3a - 2b vektorok koordinátáit!
1.) a + b (-1 + 2, 3 + 8)
Tehát a + b (1, 11)
2.) b - a (2 - (-1), 8 - 3)
Tehát b - a(3, 5)
3.) 3a - 2b(3(-1) - 2(2), 9 - 2(8))
Tehát 3a - 2b(-7, -7)


Geometria


g1.)
Határozzuk meg a derékszögű háromszög átfogójának a hosszát, ha tudjuk, hogy a két befogó hossza 30 cm, és 40 cm.
Használt képlet:
Pitagorasz tétel:
a2 + b2 = c2

a = 30 cm
b = 40 cm
c = ?
302 + 402 = c2
900 + 1600 = c2
2500 = c2
c = 50 cm
Tehát az átfogó hossza 50 cm.

g2.)
Mekkora a henger térfogata, ha alapkörének a sugara 10 cm, magassága pedig 30 cm.
Használt képlet:
Vhenger = r2πm
r = 10 cm = 1 dm
h = 30 cm = 3 dm
Vh = ?
Vh = 12 · 3,14 · 3 = 9,42 dm3
Tehát a hengerem 9,42 literes.




Matematikai jelek


Szokásos matematikai jelölések
jel jelentése
{a, b, c, ... } az a, b, c, ... elemek halmaza
{a∣T(a)} azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek T(a) tulajdonságúak
egyedi fogalmat definiáló egyenlőség
:⇔ általános fogalmat definiáló ekvivalencia
eleme
nem eleme
részhalmaza
valódi részhalmaza
nem részhalmaza
nem valódi részhalmaza
ø üreshalmaz
unió(egyesítés)
metszete(közös része)
különbséghalmaza
szimmetrikus különbsége
× Descartes szorzat
y:H→A H leképzése A-ba
~ ekvivalencia jele
Ā A halmaz komplementere
P(A) A halmaz hatványhalmaza
¬ nem, (logikai tagadás), (negáció)
és, (konjunkció)
vagy, (diszjunkció)
implikáció
logikai ekvivalencia
univerzális kvantor
egzisztenciális kvantor
N 0, 1, 2, ... természetes számok halmaza
Z egész számok halmaza
Q racionális számok halmaza
Q* irracionális számok halmaza
R valós számok halmaza
C komplex számok halmaza
K kvaterniók halmaza
Ao az A elemeinek 0-tól különböző halmaza (ahol az A az N, Z, Q, R, C, K bármelyike lehet)
Z+ a pozitív egész számok halmaza
Z- a negatív egész számok halmaza
Zo+ a nem negatív egész számok halmaza
Zo- a nem pozitív egész számok halmaza
= egyenlő
nem egyenlő
azonosan egyenlő
közelítőleg egyenlő
< kisebb
kisebb vagy egyenlő
> nagyobb
nagyobb vagy egyenlő
[a, b] a, b zárt intervallum
]a, b[ a, b nyílt intervallum
∣a∣ a szám abszolut értéke
% százalék
ezrelék
(n, m) n és m legnagyobb közös osztója
[n, m] n és m legkisebb közös többszöröse
(x1, x2) rendezett számpár
(x1, x2, ... , xn) rendezett szám n-es
A x B számpárok halmaza
leképezés jele (f: A → B: A-nak B-re való leképezése f szerint)
f -1 f inverz leképzése
hozzárendelés jele (x ↦ f(x): x-hez f(x) van hozzárendelve
n(B) a B halmaz számossága
card(B) a B halmaz kardinalitása
azonos számosságú
(T, +) egyműveletes algebrai struktúra
Pn n (≧o) elemű halmaz (ismétlés nélküli) permutációinak a száma
Pn(k1,k2, ... ,kr) n elem ismétléses permutációinak a száma k1, k2, ... kr számú ismétléssel
Vnk n különböző elem (ismétlés nélküli) variációinak a száma
Vnk(i) n különböző elem k-tagú ismétléses variációinak a száma
Cnk n elem k tagú (ismétlés nélküli) kombinációinak a száma
Cnk(i) n elem k tagú ismétléses kombinációinak a száma
! faktoriális
(2n)! páros számok szorzata 2n-ig
(2n+1)! páratlan számok szorzata 2n + 1-ig
(nk) binominális együttható
P(A) az A esemény valószínűsége
P(A∣B) feltételes valószínűség: az A valószínűsége a B feltételnél
I biztos esemény
ø lehetetlen esemény
M(ξ) ξ valószínűségi változó várható értéke
D(ξ) ξ valószínűségi változó szórása
xn x az n-edik hatványon
√¯x négyzetgyök x
n√¯x n-edik gyök x
log logaritmus
loga a alapú logaritmus
lg 10-es alapú logaritmus
ln e alapú (természetes) logaritmus
exp x jelentése: ex
k=1n ak az összes ak tag összege
k=1n ak az összes ak tag szorzata
an számsorozat
lim limes (határérték)
... tart ... hoz
végtelen
limx→a f(x) f(x) határértéke, ha x tart az a-hoz
lim an alsó határérték
__
lim an
felső határérték
x → a + x jobbról tart az a-hoz
x → a - x balról tart az a-hoz
f függvény jele
Δ növekmény, változás (pl: Δx)
Δf(x)/Δx differencia hányados
d differenciál (pl: dx)
ds ívdifferenciál
idA A-n értelmezett identikus függvény
merőleges
merőleges, derékszög
R a 90° fok jele
párhuzamos
hasonló
egybevágó
szög
szög
° fok
' perc
" másodperc
π pi (3, 14 ...)
□-öl négyszögöl
ha hektár
AB A B szakasz
AB A B szakasz hossza

AB
ív(AB)
(x, y) P(x, y) pont koordinátái a síkon
(x, y, z) P(x, y, z) pont koordinátái a térben
sin α színusz alfa
cos α koszínusz alfa
tg α tangens alfa
ctg α cotangens alfa
arcsin α árkusz színusz alfa
arccos α árkusz koszínusz alfa
arctg α árkusz tangens alfa
arcctg α árkusz kotangens alfa
sec α szekáns alfa
cosec α koszekáns alfa
sh α színusz hiperbolikusz alfa
ch α koszínusz hiperbolikusz alfa
th α tangens hiperbolikusz alfa
ctg α kotangens hiperbolikusz alfa
arsh α área színusz hiperbolikusz alfa
arch α área koszínusz hiperbolikusz alfa
artg α área tangens hiperbolikusz alfa
arctg α área kotangens hiperbolikusz alfa
a, b vektorok
ao az a egységvektora
∣a∣ az a abszolút értéke (hosszúsága)
i, j, k koordinátarendszer egységvektorai
a · b,(ab) az a és a b vektorok skaláris szorzata
a x b,[ab] az a és a b vektorok vektoriális szorzata
abc,a(b x c) három vektor vegyes szorzata
ax, ay, az az a vektor koordinátái (a Descartes-féle koordinátarendszerben)
z komplex számok
i imaginárius(képzetes) egység(i = √¯-1)
Re z z valós része
Im z z képzetes része
arc z z arkusza
arg z z argumentuma
_
z
z konjugáltja
f '(x), f ''(x), ... , f(n)(x) egyváltozós függvény első, második, ... , n-edik deriváltja
y', y", ... , y(n) egyváltozós függvény első, második, ... , n-edik deriváltja
dy/dx, d2y/dx2, ... , dny/dxn egyváltozós függvény első, második, ... , n-edik deriváltja
ẏ, ÿ idő szerinti (első, második, ... ) derivált
integráljel
kettős integrál
hármas integrál
körintegrál
∫ f(x)dx határozatlan integrál
ab f(x)dx határozott integrál
Té kamatoskamattal növelt összeg



Matematika Kislexikon


b - c - cs - d - e - f - g - gy - h - i - k - l - m - n - ny - o - ö - p - r - s - sz - t - u - ü - v - y - z






A matematika főbb területei:
Algebra
Analízis
Diszkrét matematika
Geometria
Gráfelmélet
Halmazelmélet
Káoszelmélet
Kombinatorika
Logika
Statisztika
Számelmélet
Számítógép - tudományok
Topológia
Valószínűség - számítás
(Határterületek: Matematikai - fizika, ...)

a
= atto- SI-prefixum jele (10-18 = trilliomod)

a-
Az a- tagadást jelentő előtag, pl: szimmetrikus-asszimetrikus (nem szimmetrikus).

a oldalú
a oldalú négyzet átlója: a ∙ √¯2
a oldalú szabályos háromszög magassága : (a ∙ √¯3)/2
a élű kocka testátlója: a ∙ √¯3

Abakusz
Az abakusz v. számolótábla, a számokat rudakon (régebben vájatokban) elhelyezett golyók vagy korongok jelképezik.

Abel-csoport
A ○ művelettel előállított G csoport Abel-féle, ha a művelet kommutatív: a ○ b = b ○ a, minden a,b ∈ G-re.

Ábrázoló geometria
Az ábrázoló geometriában a háromdimenziós alakzatokat síkra vetítjük, s így oldjuk meg a térbeli feladatokat.

Abszcissza
A Descartes-féle (síkbeli) koordináta-rendszer első, azaz x koordinátája.

Abszolút érték
- a nem negatív szám abszolút értéke egyenlő magával a számmal
- a negatív szám abszolút értéke egyenlő a szám ellentettjével.

Abszorbtivitás
(S; ○, ∙) legalább kétműveletes struktúrán, akkor hívjuk a ∙ műveletet abszorbtívnak a ○ műveletre nézve, ha minden a,b(∈S)-re:
a ∙ (a ○ b) = a
A művelet tulajdonsága logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∀a ∀b (a ∙ (a ○ b) = a)
abszorbtív (latin) = elnyelő

Absztrakció
Az absztrakciónak v. elvonatkoztatásnak hívjuk azt, ha elvonatkoztatunk azoktól a tulajdonságoktól, amelyek a vizsgálatunk szempontjából lényegtelenek, a lényeges tulajdonságokat pedig, kiemeljük, és általánosítjuk.
(A matematikai tételekről is mondhatjuk, hogy az állítások magasabb szintű absztrakciói).

Absztrakt algebra
Olyan algebrai struktúrákkal foglalkozik, amelyekben az elemek speciális műveletekkel rendelkező halmaza kielégít bizonyos axiómákat (csoportok, gyűrűk, testek).
Az axiómákból kiindulva általánosít, ezeket az adott algebrai struktúra összes speciális esetére lehet alkalmazni..

Adat
Egy kísérletből, megfigyelésből, felmérésből kaphatjuk (akár véletlenszerűen kiválasztva is).
Az adat diszkrét ha elkülönülő egységekből áll (pl: tanulók) (véges v. megszámlálhatóan végtelen)
folytonosról beszélünk pl: tömeg esetében.
nominális, ha nem számszerűek (hanem pl. szemléltetőek), lehetséges értékei között csak azonos v. nem azonos reláció van értelmezve..

Addíciós képlet
Két szög összegének v. különbségének trigonometrikus függvényeit az egyes szögek szögfüggvényeivel meg tudjuk adni:
sin(α ± β) = sinα ∙ cosβ ± cosα ∙ sinβ
cos(α ± β) = cosα ∙ cosβ ∓ sinα ∙ sinβ
tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1 ∓ tgα ∙ tgβ)
és:
sinα + sinβ = 2 ∙ sin((α + β) / 2) ∙ cos((α - β) / 2)
sinα - sinβ = 2 ∙ sin((α - β) / 2) ∙ cos((α + β) / 2)
cosα + cosβ = 2 ∙ cos((α + β) / 2) ∙ cos((α - β) / 2)
cosα - cosβ = 2 ∙ sin((α + β) / 2) ∙ cos((α - β) / 2)

Additív csoport
Ha egy csoportban a művelet jele + (neve összeadás), akkor a csoportot additív csoportnak hívhatjuk (de csak akkor szoktuk a csoport műveletét + jellel jelölni, ha a csoport kommutatív).

Additív függvény
Az f függvényt additívnak hívjuk, ha minden x, y számra teljesül, hogy:
f(x + y) = f(x) + f(y)

Affin geometria
A síkról síkra történő párhuzamos vetítésnél (affin transzformációnál) megmaradó tulajdonságokkal foglalkozik..

Alaphalmaz
A vizsgálatban szóba jöhető elemek összessége

Alaphalmaz megadása
Bármely (A) halmazt kinevezhetjük alaphalmaznak, s ezután csak (A) részhalmazait nézzük (de komplementer halmazokról is csak az alaphalmaz megadása után beszélhetünk).

Algebra alaptétele
Minden polinomális egyenletnek van gyöke:
anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + ao = 0
ai: valós v. komplex szám
an ≠ 0 ..

Algebrai egyenlet
f(x) = 0      (f(x) ∈ T[x]) alakú egyenletet hívjuk T feletti algebrai egyenletnek, ahol:
- f(x) = 0 az f1(x) = f2(x) egyenlet zérusra redukált alakja
- f(x)∈T[x] az f(x) egy T test feletti polinom
Az egyenlet gyöke (v. megoldása) az a z∈T elem, amelyre f(z) = 0
Tehát az egyismeretlenes n-ed fokú algebrai egyenlet
(0-ra redukált) alakja:
aoxn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0 (ai∈T, ao ≠ 0)
ekvivalens átalakításokkal eljuthatunk ennek a normált alakjához:
xn + b1xn-1 + ... + bn-1 x + bn = 0
(f1(x) = f2(x) nem azt jelenti, hogy a baloldali polinom egyenlő a jobboldalival, hanem azt, hogy keresni kell olyan z-t, amelyre a két oldal helyettesítési értéke egyenlő)

Algebrai - irracionális szám
Irracionális szám is lehet algebrai, pl: x2 - 2 = 0 egyenletnek √▔2 a gyöke.
A nem algebrai irracionális számokat (pl: π) transzcendens számoknak hívjuk.

Algebrai műveletek tulajdonságai
Egy (S; ○) struktúrában a ○ művelet tulajdonsága:
kommutatív, ha minden a,b(∈S)-re:
a ○ b = b ○ a
asszociatív, ha minden a,b,c(∈S)-re:
(a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c)
idempotens, ha minden   a (∈S)-ra:
a ○ a = a
kancellatív, ha   a,b(∈S)-re:
x ○ a = b    a ○ y = b
egyenleteknek legfeljebb egy-egy megoldása van.
invertálható, ha az előbbi egyenleteknek mindig van megoldása.
neutrális elem, ha az (S; ○) struktúrának van olyan u eleme, hogy minden a(∈S)-ra
u ○ a = a ○ u = a
, akkor u-t neutrális elemnek hívjuk
inverz elem, ha az (S; ○) struktúrának van neutrális eleme, és az a(∈S) elemhez van olyan a'(∈S) elem, amelyre
a' ○ a = a ○ a' = u
, akkor a'-t az a inverz elemének hívjuk (a ○ műveletre nézve)
abszorbtivitás, ha (S; ○, ∙) legalább kétműveletes struktúra, akkor hívjuk a ∙ műveletet abszorbtívnak a ○ műveletre nézve, ha minden a,b(∈S)-re teljesül, hogy:
a ∙ (a ○ b) = a
disztributivitás, ha (S; ○, ∙) legalább kétműveletes struktúra, akkor hívjuk a ∙ műveletet disztributívnak a ○ műveletre nézve, ha minden a,b,c(∈S)-re teljesül, hogy:
a ∙ (b ○ c) = (a ∙ c) ○ (b ∙ c)

Algebrai - racionális szám
Minden racionális szám algebrai, mert pl. bx - a = 0 egyenletnek a / b gyöke (a,b ∈ Z (egész), b ≠ 0)

Algebrai rendszer
Műveletekkel és relációkkal ellátott halmazt hívjuk algebrai rendszernek (v. relációkkal is ellátott algebrai struktúrát).

Algebrai síkgörbék
másként, a kétváltozós polinomok nullhelyei. Pl. egyenes (pl. x = 0), kör (pl. x2 + y2 = 1) Ezek a görbék abból a szempontból egyformák, hogy van köztük egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, amely racionális törtfüggvényekkel (azaz polinomok hányadosaként) írható le. (Tehát a kör és az egyenes egymásra leképezhető)

Algebrai struktúra
Elemek műveletekkel ellátott halmaza (amelyek kielégítenek bizonyos axiómákat): pl. a csoportot, a gyűrűt, a testet hívjuk algebrai strukturának.

Algebrai struktúrák
Algebrai struktúráknál a műveleti tulajdonságok azért fontosak, mert a különböző (és konkrét) algebrai struktúrákat algebrai szempontból egyszerre vizsgálhatjuk, ha bennük a műveletek ugyanolyan tulajdonságúak.

Algebrai szám
Egész együtthatós polinom gyökeként adódó többnyire komplex szám.

Alkalmazott matematika
Alkalmazott matematikának hívjuk a matematikának azt az ágát, amely a természet és a társadalom törvényeit vizsgálja, Pl: matematikai statisztika, valószínűség számítás, diszkrét matematika, ... , de ide tartoznak pl. az elméleti matematika alkalmazásai: mátrixok, ...

Állandók
Állandóknak hívjuk azokat a számokat amelyek fontosak, és gyakran fordulnak elő a matematikában, pl:
π = 3,14
e = 2,7118

Állítás
A matematikai logikai állításnak, v. ítéletnek értelmének kell lennie, ez lehet igaz v. hamis (mindkettő egyszerre nem lehet, és nem állítás, ha nincs értelme)..

Általános háromszög
Azt a háromszöget, amelynek minden oldala különböző hosszúságú, hívjuk általános háromszögnek.

Analitikus függvény
Egy függvény akkor analitikus, ha az értelmezési tartományának minden pontjában analitikus.
Egy komplex változós, komplex értékű függvény az értelmezési tartományának egy pontjában akkor analitikus, ha az adott pont környezetében konvergens hatványsorba fejthető..

Analitikus geometria
A matematikának a koordinátageometriával foglalkozó területe, geometriai alakzatokhoz mennyiséget rendel (Pl: pontnak számpár felel meg (a síkban), egyenesnek elsőfokú egyenlet, körnek kétismeretlenes másodfokú egyenlet).

Analízis
A mozgásnak, és a változásnak a mintázatait vizsgálja.

Analízis vizsgálódása
Analízis a határfolyamatokat vizsgálja pl: differenciálszámítás, integrálszámítás
- hasonló végtelen folyamatok pl: végtelen sorok összegzése
- de az algebrai tételek is vezethetnek matematikai analízishez, pl: a binominalis tétel, ha a kitevő nem pozitív egész szám..

anti
Az előtag jelentése: ellen-, ellentéte(s).

Antinómia
ellentmondás

Aperiodikus középkori minták
Az afganisztáni Herat, az indiai Agra, az iráni Iszfahán (1453), a török Bursa középkori iszlám mecsetjeiben olyan egyszerűbb alapelemekből - sokszögek, csillagalakzat,... - felépülő szép, és bonyolult mintázatú díszítések vannak, amelyeket egyszerű szimmetriaműveletekkel nem lehet kialakítani. A tudásuk annyira fejlett, hogy nincs valószínűsége annak, hogy véletlenül kirakhatták volna ezeket a mintázatokat.
Ezt a módszert - kidolgozójáról Penrose-csempézésnek lett elnevezve - mi csak 1973-ban fedeztük fel. Ezzel az eljárással olyan aperiodikus, nem ismétlődő minták hozhatók létre, amelyeknél a teljes mintázat eltolással vagy forgatással önmagával nem hozható fedésbe. 1984-ben fedeztük fel ezeket a mintázatokat a természetben is: a kvázikristályokban az atomok vagy a molekulák rendje sok tulajdonságukban hasonló a kristályokéhoz, de nem egy szabályosan ismétlődő alapelemük van - hanem 2 vagy több -, amelyek hézagmentesen kitöltik a teret, de mégsem periódikusan ismétlődnek.

Aranymetszés
Ha egy szakaszt úgy osztunk két részre, hogy az egész szakasz aránya a nagyobbikhoz megegyezzen a nagyobb szakasz - kisebb szakasz arányával, akkor ezt hívjuk aranymetszésnek.
Ha a kisebbik szakasz hosszát vesszük 1-nek, és a nagyobbikét x-nek, akkor:
(x + 1) / x = x / 1     / ·x
x + 1 = x2
x2 - x - 1 = 0
x = ½ (1 + √▔5) ≈ 1,618
Ez kultúrtörténeti, művészeti jelentőségű is, mert amely alkotások ilyen arányúak, azokat kellemes alakúnak látjuk.

Arány
Két szám hányadosát a két szám arányának is hívjuk (pl. a 6 és a 3 aránya: 6/3 = 2)

Arányosság
Ha x, y mennyiségek közötti kapcsolatot y = k · x egyenlettel adjuk meg (k = állandót arányossági tényezőnek hívjuk), akkor azt mondjuk, hogy x, y között egyenes arányosság áll fenn.
Ha y = k / x egyenlettel, akkor azt mondjuk, hogy x, y között fordított arányosság áll fenn.

Aritmetika és számelmélet
A számoknak és a számlálásnak a mintázatait vizsgálja.

Aritmetika-algebra
Az algebra az aritmetika általános tulajdonságaival foglalkozik. A kapcsolatokat változókkal (pl. x,y,z, ...) adja meg, s ezeknek az értékeit a létrejövő egyenletek megoldásával kapjuk meg.

Asszimetrikus
Ha egy síkbeli alakzat sem egyenesre, sem pontra nézve nem szimmetrikus, akkor hívjuk asszimetrikusnak.

Asszociatív
Pl:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Csoportosíthatóság: az összeadásnál és a szorzásnál a műveletek elvégzésének a sorrendje felcserélhető)

Asszociatív művelet
Ha az (S; ○) algebrai struktúrában a ○ művelet asszociatív (azaz (S; ○) félcsoport), akkor véges sok elemen végrehajtott művelet eredménye független a zárójelek elhelyezésétől, csupán az elemek sorrendjétől függ.

Asszociativitás
S halmazon ○ műveletet, akkor hívjuk asszociatívnak, ha minden a,b,c(∈S)-re:
(a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c)
A művelet tulajdonsága logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∀a ∀b ∀c ((a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c))
asszociatív (latin) = társítható

Átfogó
A derékszögű háromszögben a derékszöggel szemközti oldal.

Átlag
Az a1, a2, ... , an számok átlaga v számtani közepe:
A (a,b,...,n) = (a1 + a2 + ... + an) / n
Pl: a = 1, b = 5
A(a,b) = (1 + 5) / 2 = 3

Átló
Egy sokszög két csúcsát összekötő egyenesszakaszt hívjuk átlónak(, ha ez nem oldaléle a sokszögnek).

Átmérő
Az átmérő olyan húr, amely átmegy a kör középpontján.
Jele: d (diaméter)
d = 2 r
d: átmérő
r: sugár

Axióma
Olyan állítás, amelynek igazságát magától érthetődőnek tartjuk, tehát az axiómát egy alapigazságnak vesszük, amit nem lehet kétségbevonni. (Megnézzük, hogy az axiómák egy halmazából milyen eredmények vezethetők le, amik megadják a tételek bizonyítását..)

Axióma-definíció
A definíciókkal mutatjuk meg a matematikában a különböző összefüggésekben a hasonlóságokat, és az axiómák pedig "összefoglalják" ezeket.

Azonosság
Olyan egyenlet, amely az alaphalmaz minden elemére igaz (pl: 3x + 6 = x + 2)

Azonosság jelölése
Az azonosság olyan egyenlet, amelynek a két oldala a változóik minden értékére megegyezik, ilyenkor = jel helyett ≡ jelet is szoktunk használni.




Behelyettesítés
Behelyettesítésnek nevezzük azt, amikor egy kifejezésben szereplő változók helyére számokat írunk, és így egy bizonyos értéket kapunk.

Beírt kör középpontja
A háromszögbe írt kör középpontját a szögfelezők metszéspontja adja meg.

bi
a latin bis szóból származik, jelentése: kétszeres, kettős (pl: bijektív leképzés)

Binom
kéttagú algebrai kifejezések

Bonyolultságelmélet:
A diszkrét matematikai, számelméleti, geometriai feladatokat megoldó algoritmusok lépésszám igényét (futásidejének hosszát) vizsgálja a matematika eszközeivel. Elméleti eredményeinek gyakorlati alkalmazása: internetes vásárlásban, titkosításban, és a hálózati azonosításban.

Bonyolultságelmélet - számítógépek
A bonyolultságelmélet segítségével megmondható, hogy a mai rendszerű számítógépekkel mely feladatok megoldhatóak:
-ha a feladat számításigénye a bemenő adatokkal (információkkal) polinomiálisan (pl. négyzetesen, köbösen, ...) nő, akkor a Neumann-architektúra alapján működő számítógépünk meg tudja oldani.
-ha a számításigény az adatokkal exponenciálisan nől, akkor meg tudja oldani a számítógép, de belátható időn belül nem lesz meg az eredmény
-ha a feladatok nem algoritmizálhatók, akkor a számítógép elvileg sem tudja megoldani (de ez az állítás még nincs bebizonyítva)

Boole-algebra:
Nevét George Boole (1815-1864) angol matematikusról kapta. Három műveletes algebrai struktúra: egyesítés (ÉS), a metszetképzés (VAGY), és a komplementerképzés (NEM). Alkalmazási területei: halmazalgebra, valószínűség-számítás, matematikai logika. A digitális számítógép matematikai alapja. Csak két értéket felvehető mennyiségek törvényszerűségeit vizsgálja.

Bővítés
(Az egyszerűsítés "fordítottja", de sokszor ez is "leegyszerűsítheti" a feladat megoldását)
a/b · c/c = a · c/b · c    b ≠ 0, c ≠ 0




Collatz-sejtés
Vegyünk egy számot, ha páros osszuk el kettővel, ha páratlan szorozzuk meg hárommal, adjunk hozzá egyet és ezt a már páros számot osszuk el kettővel. Az eredménnyel tegyük ugyanezt, és ne csodálkozzunk ha mindig egyet kapunk eredményül.
pl:
2 → 1
3 → 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
4 → 2,1
...
(Az 1937-ből származó sejtést, úgy néz ki, hogy sikerült bebizonyítani).




Csoport
Ha az (S; ○) első tagja egy nem üres halmaz, a második tagja pedig egy asszociatív és invertálható művelet, akkor csoportnak hívjuk.
(Az invertálhatóság ekvivalens azzal, hogy van egységelem, és minden elemnek van inverze).

Csoportjellemzők
A társas kapcsolati hálózatok csoportosulásának dinamikáját vizsgálva jöttek rá a kis- és a nagyobb csoportok eltérő jellegzetességére. A kisebb csoportok (pl. baráti körök) időben nem nagyon változnak (a csoport csak úgy tud fennmaradni, ha a tagok ragaszkodnak a csoporthoz).
A nagyobb csoportok (pl. munkahelyi közösségek, klubok) ezzel szemben csak úgy képesek fennmaradni, ha a tagságuk folyamatosan cserélődik, állandó változásban tartva a csoportot (sőt a kapcsolatok erősségének elemzésével meg lehet mondani a tagok kiválási valószínűségét).




Definiáló egyenlőség
A := jel a definiáló egyenlőség jele
A jel bal oldalára írjuk a definiálandó jelet (szimbólumot), a jobb oldalára pedig azt, hogy a jel mit fog jelenteni.
(egyedi fogalmat definiáló egyenlőség)

Definiáló ekvivalencia
A :⇔ jelet használjuk a definiáló ekvivalencia jelölésére:
-a jel bal oldalára írjuk a definiálandó kifejezést
-a jel jobb oldalára pedig a definiáló kijelentést.
(általános fogalmat definiáló ekvivalencia)

Definíció
értelmezés, meghatározás

Deriválási szabályok
Összeg-szabály (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
Konstans-szabály (Cf(x))' = Cf'(x)
Szorzat-szabály (f(x) · g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Hányados-szabály (f'(x)/g(x))' = f'(x)g(x) - f(x) g'(x)/g2(x)
Lánc-szabály (f(g(x)))'= f'(g(x))g'(x)

(Fontosabb függvények) deriváltjai:
y y'
C(konstans) 0
C · x C
xn nxn-1
ex ex
lnx 1/x
loga x(= lnx/lna) 1/x · lna
sinx cosx
cosx -sinx
tg x 1/cos2x = 1 + tg2x
ctg x -1/sin2x = -1 - ctg2x
sh x ch x
ch x sh x

Descartes-féle szorzat
Definíció:
H és E halmaz H x E Descartes-féle szorzata (szorzathalmaza) az (a, b) rendezett elempárok halmaza:
H x E ≔ {(a, b)∣aϵH, bϵE}

Ha E = H, akkor H x H helyett H2-et is írhatunk.
Példa: ha H ≔ {1,2}, B ≔ {3, 4, 5}, akkor:
H x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

(n ≧ 0 tényezős) Descartes-féle szorzat
H1 x H2 x ... x Hn ≔{(a1, a2, ... , an)∣a1ϵH1, a2ϵH2, ... , anϵHn}
Tehát ha R a valós számok halmazát jelöli, akkor R x R = R2 a valós számokból alkotott számpárok halmaza, amely a geometriában a sík(számsík) pontjainak a halmaza. Az R x R x R = R2 x R = R3 halmaz pedig a tér pontjainak az összessége.

Determinánsok-mátrixok
Determinánsok a test feletti négyzetes mátrixokhoz adott módon rendelt testbeli elemek.

Diadikus számrendszer
Diadikus vagy kettes számrendszerben használjuk a legkevesebb számjegyet (ezek a 0 és az 1).

Diofantoszi egyenletek
Ha az egyenlet (egyenletrendszer) együtthatói egész számok, és a megoldásokat is az egész számok  Z  gyűrűjében keressük, akkor az egyenletet (egyenletrendszert) Diofantoszi egyenletnek hívjuk.
Pl:
- egyismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet:
ax = b
x = b/a
(ha a ∣ b, a ≠ 0)
- kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet
ax + by = c
x = xo + (b / (a, b)) ∙ t ,     y = yo - (a / (a, b)) ∙ t
akkor és csak akkor, ha:
- (a, b) ∣ c
- xo, yo:   az ax + by = c-nek egy megoldása
- t: tetszés szerinti egész szám

Diszkjunkt
A ∩ B = ∅
Két halmazról akkor mondjuk, hogy diszkjunkt halmazok, ha nincs közös elemük. (Pl: {a, b, c} és {d, e} diszkjunkt halmazok)

Diszkrét matematika:
Véges halmazok és véges rendszerek matematikai elmélete. A XX. század második felétől fejlődik, főként informatikai alkalmazása révén.

Disztributív
Pl:
a · (b + c) = ab + ac
(Széttagolhatóság: mind a két tagot szorzom, és megtartom az előjelüket)

Disztributivitás
(S; ○ ∙) legalább kétműveletes struktúrán, akkor hívjuk a ∙ műveletet disztributívnak a ○ műveletre nézve, ha minden a,b,c(∈S)-re:
a ∙ (b ○ c) = (a ∙ c) ○ (b ∙ c)
A művelet tulajdonsága logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∀a ∀b ∀c (a ∙ (b ○ c) = (a ∙ c) ○ (b ∙ c))
disztributív (latin) = szétosztható

Divízió
Régiesen az osztás művelete: divisio (latin) = felosztás, (osztály).




Egész számok
A könyvelés: vagyon-adósság, időjárás: -3oC(hideg) van télen, ... matematikai leírásának igénye miatt a természetes számok halmazát kibővítették a negatív egész számokkal.
Jele a (zahlen) Z: { ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... } (számok tartoznak a halmazába).

Egységarány
Ha az arány 1/a alakban van megadva, akkor egységaránynak hívjuk, ha a nevező még egész szám is, akkor pedig törzstörtnek.

Egyszerűsítés
ad/bd = a/b · d/d = a/b (mert d/d = 1) b ≠ 0, d ≠ 0

Együtthatók
Azok a számok, amelyekkel a változókat megszorozzuk (pl. x4 + 3x - 10-nél: 1;3)

Ekvivalens algebrai kifejezések
Két algebrai kifejezés ekvivalens, ha minden behelyettesítésre ugyanazt az értéket adják: Pl: x + 2x = 3x
Mindig az a feladatunk, hogy az algebrai kifejezéseket egy vele ekvivalens, egyszerűbb alakra (formára) hozzuk.

Ekvivalens átalakítások
Ekvivalens átalakításnak hívjuk azt, ha egy egyenlet mind a két oldalán olyan átalakításokat végzünk, hogy a kapott egyenlet az eredetivel ekvivalens lesz. Pl:
- egy polinom hozzáadása, kivonása
- szorzás, osztás zérustól különböző elemmel..

Ekvivalens egyenletek
Két egyenletet, akkor hívunk ekvivalensnek, ha az egyik egyenlet minden megoldása, megoldása a másiknak is, és fordítva is.

Elemi számelmélet
Az elemi számelméleti vizsgálatoknál az univerzum (az alaphalmaz) az egész számok halmaza

Erdős-(féle)szám
A XX. század tíz legjobb matematikusa közé sorolt Erdős Pál már 21 évesen ledoktorált. Később folyamatosan a matematika intézetek között utazgatott. Általában matekos barátainál szállt meg, sehol sem töltve egy hétnél többet. Eközben ~500 tudóssal kb. 1500 tanulmányt készített. Így vezette be a közös munkát, s vált - rajta keresztül - "hálózattá" a matekos társadalom. A tiszteletére vezették be az Erdős-számot. Az Erdős-egyesek azok akik vele dolgoztak, az Erdős-kettesek, akik a társszerzőivel publikáltak, ...

Érintő
Az érintő olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel: (É).
A kör sugara az (É) érintési pontban merőleges az érintőre.
Tehát a kör egy adott pontjához csak egy érintő húzható. A körhöz egy rajta kívül lévő P pontból két érintő húzható. Ez a két "érintőszakasz" egyenlő egymással, mert POÉ1∆ ≅ POÉ2∆

Értelmezési Tartomány (ÉT)
A változókba behelyettesíthető számok (de ha törtkifejezés van, akkor a nevező értéke nem lehet nulla)

Esemény valószínűsége
Klasszikus valószínűségi mezőben tetszőleges   A   esemény valószínűsége:
P(A) = k / n
k: az A-ban foglalt elemi események száma (kedvező esetek száma)
n: az összes elemi esemény száma
(Tehát   A   esemény valószínűségét megkapjuk, ha a kedvező esetek számát osztjuk az összes eset számával)

Euklidészi szerkesztés
Az euklidészi síkon végzett euklidészi szerkesztés eszközei:
- vonalzó: vele tetszőleges hosszúságú szakaszt lehet rajzolni (nincs rajta mértékegység, "cm")
- körző: vele tetszőleges sugarú kört lehet rajzolni
A vonalzónkat két adott ponton átmenő egyenes megrajzolására használhatjuk, a körzőt pedig két adott pont közötti távolság nagyságú, sugarú kör rajzolására.
Euklidészi alapszerkesztésnek hívjuk:
- két adott egyenes metszéspontjának a kijelölését vonalzó segítségével
- adott egyenes és adott kör metszéspontjának a kijelölését a vonalzónkkal és a körzőnkkel
- két adott kör metszéspontjainak a kijelölését körző segítségével.
Euklidészi szerkesztés az alapszerkesztések véges sok egymásutánját jelenti. (Pl. derékszögű vonalzó, ... ,vagy ezeknek a rajzeszközöknek a másként történő (pl. párhuzamos eltolás) használatával is szerkeszthetünk, de ezeket nem hívhatjuk euklidészi szerkesztésnek).




Faktoriális
jele: n!   (olv: en faktoriális)
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n
(1-től az n-ig terjedő egész számok szorzatát jelenti)
(Pl: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24)
A megállapodás szerint:
1! = 1
0! = 1

Fák
Fa alakú gráfok. Jellemző tulajdonságuk, hogy bennük bármely két pontot pontosan egyféleképpen köthetünk össze úttal.

Fermat-sejtés
Bizonyításával évszázadokon át hiába próbálkoztak. Végül 1995-ben Andrew Wiles amerikai matematikusnak sikerült - több száz oldalon - bebizonyítania.

Félcsoport
Az (S; ○) struktúrát félcsoportnak hívjuk, ha a ○ művelet asszociatív.

Félháló
Az (S; ○) struktúrát félhálónak hívjuk, ha a ○ művelet asszociatív, kommutatív, és idempotens. Jelölése: (H; ⌢), (H; ⌣)

Félkör
A félkör a körcikk egy speciális esete.

Fibbonacci-számok
A Fibbonacci-számok sorozatának bármelyik eleme az előző két elem összege pl: 1,2,3,5,8 ...

Fraktálok
A fraktálok (1975) a tört dimenzió fogalmát vezették be a geometriába. Fontos szerepet játszanak a nem lineáris jelenségeket (pl: turbulencia) leíró káosz-elméletben.

Függvényvizsgálat
Függvényvizsgálat differenciálszámítással:
Ha az y = f(x) függvény az (a, b) intervallumban differenciálható akkor:
- az (a,b) intervallumban y szigorúan monoton növekszik (azaz f(x+h) > f(x), ahol h > 0, és x, és x + h az (a, b) intervallumban vannak), ha a<x<b helyeken y' > 0
- az (a, b) intervallumban y szigorúan monoton csökkenő, ha y' < 0
- vízszintes érintőt jelent, ha y' = 0
(maximum pontnál is, minimumnál is, és inflexiós pontban (inflexiós pontban a görbe érintői a görbét "érintve" metszik) is lehet)
Maximum van egy pontban, ha:
y" < 0
Minimum van egy pontban, ha:
y" > 0
(Tehát a deriváltak segítségével az y = f(x) függvény ún. szélsőérték helyeit így tudjuk megkeresni.)




Geometria
A legkülönfélébb alakzatoknak a mintázatait vizsgálja.

Goldbach-sejtés
A Goldbach-sejtés: minden kettőnél nagyobb páros szám két prím összege máig a számelmélet egyik legrégebbi megoldatlan problémája. (ha egy sejtést bizonyítanak akkor lesz belőle: tétel)
A számelmélet tárgya az egész számok halmaza (Z gyűrűje), ebben az összeadás, a kivonás és a szorzás korlátozás nélkül elvégezhető, de az osztás nem. A számelmélet alapvetően az oszthatóságot vizsgálja, mégpedig a prímekkel. Így a prímszámok állnak a számelmélet középpontjában.
1742-ben az eredeti sejtése: minden 2-nél nagyobb szám az három prímszám összege.
Páros v. erős Goldbach-sejtés minden 2-nél nagyobb páros szám az két prím összege (= minden egynél nagyobb egész szám az két prímszám számtani közepe)
Gyenge (páratlan v. hármas) Goldbach - sejtés (v. háromszín probléma): minden 7-nél nagyobb páratlan szám felírható három páratlan prím összegeként (pl. 11 = 3 + 3 + 5, ... ) (= minden 5-nél nagyobb páratlan szám felírható három prím összegeként)
A sejtést Lévy fogalmazta meg a mai formában (1963): minden 5-nél nagyobb páratlan szám felírható három prím összegeként (pl. 51 = 5 + 23 + 23)
A Goldbach-sejtés bizonyítható
- algebrai
- analitikus
- geometriai
- kísérleti matematikai úton (a nagy teljesítményű számítógépek pl. nagyon nagy páros számról ki tudnák mutatni, hogy nem állítható elő mint két prímszám összege, s ezzel az ellenpéldával megdőlne a sejtés. (ami pl. a négyszínsejtés bizonyításánál már működött.) Azonban a Goldbach-sejtésről máig sem tudjuk, hogy igaz-e, sőt azt sem, hogy egyáltalán bebizonyítható-e. (2012.01.)

Gödel nemteljességi tétele
Gödel nemteljességi tételét a következő két mondaton mutathatjuk be:
-"ez a mondat hamis": vagy van olyan állítás, amelyről ezt sem tudjuk bebizonyítani, hogy igaz, és azt sem, hogy hamis
-"ez a mondat igaz": vagy van olyan állítás, amelyről azt is be tudjuk bizonyítani, hogy igaz, és azt is, hogy hamis
(Ezt ha igaznak feltételezem, akkor a tartalma szerint igaz, akkor így rendben van. De, ha hamisnak feltételezem, akkor hazugságot állít, tehát tényleg hamis, azaz így is rendben van. Tehát erről az állításról azt is be lehet bizonyítani, hogy hamis, és azt is, hogy igaz.)(Az első mondatot pedig a paradoxonokból ismerjük.)

Gömb
F = 4 r2π
F: felszín
r: sugár
π: 3,14 ...
V = 4 r3π/3
V: térfogat
r: sugár
π: 3,14 ...
Egyenlete
x2 + y2 + z2 ≦ r2 ha a gömb középpontja az origó, az egyenlőség a felületét jelenti, a < jel pedig a belsejét.
(x - u)2 + (y - v)2 + (z - w)2 = r2
K(u, v, w): a gömb középpontja
r: sugár
x, y, z: a középpontjától való eltérést mutatják

Gömböc
Domokos Gábor és Várkonyi Péter által felfedezett matematikai test mindig "felkel" mint a keljfeljancsi, de ez nem egy nehezék miatt, henem a különleges formája miatt.

Gráfelmélet segédtétele
Szemerédi Endre 1975-ös segédtétele segítségével a bonyolult hálózatokat kisebb véletlen gráfokra bonthatjuk, s így megkönnyíti azok elemzését.

Gráfelmélet története
Königsberg lakóit nagyon foglalkoztatta az, hogy be lehet-e úgy járni a városukat, hogy a Prégel folyón átívelő hét híd mindegyikén csak egyszer mennek át. A svájci Leonhard Euler 1736-ban bebizonyította, hogy ez lehetetlen (s meg is mutatta, hová építsenek új hidat, hogy ez sikerüljön)
Tudománytörténeti újdonság volt a bizonyításánál alkalmazott egyszerűsítő módszere: a városrészeket pontokkal, a hidakat a pontok közé húzott vonalakkal helyettesítette:
Így születtek meg a pontokból (csúcsokból), és vonalakból (élekből) álló hálózatok, a gráfok.
A gráfok ezután a matematika "magyar területévé" váltak Kőnig Dénes, Erdős Pál, Rényi Alfréd, Egerváry Jenő, Barabási Albert-László, Szemerédi Endre, T.Sós Vera, Bollobás Béla, Lovász László, ... munkája nyomán (természetesen a fizikusainkhoz hasonlóan közülük is sokan dolgoztak külföldön, mint pl. Lovász László, aki 7 évig volt a Microsoft-nál).
Már Karinthy Frigyes is 1929-es Láncszemek novellájában felvetette azt a tételt, hogy "a Föld másfél milliárd lakója közül" a személyes ismeretségeket felhasználva 5 személyen keresztül bárkit elérhetünk.
A gráfelméletet először a nagyvárosok közlekedési hálózatának optimalizálásánál használták (Kőnig-Egerváry). Igazán fontossá az internet, és az agy neuronszerkezetének a kutatásánál vált a gráfelmélet.
Ezeket először véletlen gráfokkal írták le (Erdős-Rényi), azonban a hiperlinkek (weboldalak közötti átjárást egy egérkattintással biztosítják) szerkezetét vizsgálva Barabási rájött, hogy a világháló "skálafüggetlen hálózatot" alkot (a "népszerűbb pontokkal" jobban szeretnek kapcsolatba lépni).
Az ilyen nagy hálózatok vizsgálatát segíti Szemerédi segédlete, amellyel ezeket a bonyolult hálózatokat kisebb, véletlen gráfokra bontva elemezhetik.




Gyöktényezős alak
Ha ismerjük a másodfokú egyenletnek mind a két gyökét, akkor felírhatjuk az ún. gyöktényezős alakjában:
a (x - x1) (x - x2) = 0

Gyűrű
(S; +, ∙) kétműveletes struktúrát gyűrűnek hívjuk, ha:
- S nem üres halmaz
- az összeadás művelete kommutatív, asszociatív, invertálható
- a szorzás művelete asszociatív, és az összeadásra nézve - mindkét oldalról - disztributív.




Halmaz
A halmaz bizonyos meghatározott, különböző dolgoknak az összessége (de: mivel a halmaz alapfogalom, ezért nem definiáljuk)

Halmaz elemei
A halmazt alkotó dolgok a halmaz elemei. (de: mivel elem fogalma alapfogalom, ezért nem definiáljuk)

Halmaz elemeinek a megadása
- a halmaznak felsoroljuk az összes elemét, v. annyit belőle, amennyiből már egyértelműen látható, hogy mik a halmaz elemei (pl: {1, 3, 5, 7, 9, ...})
- a halmaz elemeit tulajdonságaikkal, vagy a rájuk vonatkozó összefüggéseikkel adjuk meg (pl. az előzőt így {x∣x természetes szám, x páratlan})

Halmazműveletek
- részhalmazok
- hatvány halmazok
- halmazok metszete
- halmazok uniója
- halmazok különbsége
- halmazok szimmetrikus különbsége
- komplementer halmazok (De Morgan-törvények)
- Descartes-féle szorzat

Halmazok egyenlősége
Két halmaz (akkor, és csak akkor) egyenlő, ha ugyanazokból az elemekből áll.
H = K
ennek a tagadása: H ≠ K

Halmazok számossága
Ha a halmaz elemeinek száma véges, akkor a halmazt végesnek (ide vesszük az üres halmazt is) mondjuk. (ellenkező esetben pedig végtelennek)
Ha két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, akkor a két halmaz számossága egyenlő, a két halmaz ekvivalens. Pl. megszámlálhatónak (megszámlálhatóan végtelennek) mondjuk a természetes számok halmazának, és a vele ekvivalens halmazoknak a számosságát. A valós számok halmazának, és a vele ekvivalens halmazoknak a számosságát pedig nem megszámlálhatónak (azaz kontinuum számosságúnak)

Hamilton-kör
A gráf olyan köre, amely a gráf minden pontját tartalmazza. Létezésének szükséges, és elégséges feltételét ma még nem ismerjük.

Hatványhalmaz
A halmazok elemei lehetnek halmazok is. Így egy H halmaz részhalmazai is egy újabb halmazt alkotnak.
Definíció:
Egy H halmaz összes részhalmazai is egy halmazt alkotnak, ezt H hatványhalmazának nevezzük.
Jelölése: P(H)
Ha H elemeinek száma n, akkor P(H) elemeinek száma: 2n
Halmazok halmaza pl: az { x; y}, {x, y, z}, {x} halmazok halmaza a:
{{x, y}, {x, y, z},{x}}

Háló
(S; ○, ∙) kétműveletes struktúrát hálónak hívjuk, ha (S; ○) és (S; ∙) félháló, s mindegyik művelet a másikra nézve abszorbtív.
Jelölése:
(H; ⌢, ⌣) háló, ha (H; ⌢) és (H; ⌣) félháló, s mindegyik művelet a másikra nézve abszorbtív
Tehát (H; ⌢; ⌣) háló, ha H minden a,b,c elemére fennáll:
- a ⌢ b = b ⌢ a - a ⌣ b = b ⌣ a
- a ⌢ (b ⌢ c) = (a ⌢ b) ⌢ c - a ⌣ (b ⌣ c) = (a ⌣ b) ⌣ c
- a ⌢ a = a - a ⌣ a = a
- a ⌢ (a ⌣ b) = a - a ⌣ (a ⌢ b) = a

Hárommal oszthatóság
Minden c természetes szám felírható
c = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 102 + a1 ∙ 10 + ao
alakban
, mivel 10k-1 mindig osztható 9-cel, mert 10k-1 az olyan szám, amely   k   számú    9-esből áll, ezért c-t írjuk át a következő alakba:
c = [an(10n-1) + an-1(10n-1-1) + ... + a2(102-1) + a1(10 - 1)] + (an + an-1 + ... + a2 + a1+ ao)
(mert ha pl. an-t kivonok, akkor az utolsó zárójelben hozzá is kell adni, hogy ne változzon az eredményem)
A szögletes zárójelben minden tag osztható 9-cel, tehát az összegük is (így a 9-cel való oszthatóság az utolsó zárójeltől függ)
, ha az utolsó zárójelben található számjegyek összege (is) osztható 9-cel, akkor a számunk osztható 9-cel (mert akkor minden tag osztható 9-cel, tehát az összegük is)
, mivel ha 9-cel osztható egy szám, akkor hárommal méginkább az, így a tétel:
Egy szám akkor és csak akkor osztható hárommal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Heron-féle háromszögek
Az olyan háromszögeket hívjuk heron-féle háromszögeknek, melyeknek oldalhosszai egész számok, területük pedig racionális szám.

Hiperkomplex - számok
(Cayley-számok)
Ez már a számhalmazok "nyolcdimenziósra" bővítése. Habár a számhalmazokat tetszőleges mértékig bővíthetjük ezzel a módszerrel, a kvaternióknál bővebb számhalmazra ritkán van szükség.

Hozzárendelés
A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy A halmaz egyes elemeihez melyik B halmazban lévő elemet rendeltük.

Húr
Húrnak a szelőnek azt a szakaszát hívjuk, amelynek végpontjai a körvonal M1, M2 pontjai. (Azaz a húr a szelő, és a körlap (halmaz) metszete)

Huszonöttel oszthatóság
Minden természetes szám felírható
c = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 102 + a1 ∙ 10 + ao
alakban, ezt átrendezve:
c = (an ∙ 10n-2 + ... + a3 ∙ 10 + a2) ∙ 102 + (a1 ∙ 10 + ao)
alakúra, látható, hogy igaz a következő tétel.
Egy szám akkor és csak akkor osztható 25-tel, ha az utolsó két számjegye osztható 25-tel
(mert 102 (azaz 100) osztható 25-tel, így csak az utolsó két számjegy érdekes: 00, 25, 50, 75)

hϵH
A h eleme H halmaznak kijelentés jelölése
Ezzel a relációval (kapcsolattal) megadott fogalom is alapfogalom.




Idempotencia
Pl:
H∪H = H teljesülését nevezzük idempotenciának. Ha ∪ helyett szorzást írnánk, akkor ez azt jelentené, hogy H2 = H, ebből az is következne, hogy H minden hatványa azonos H-val. Innen van az idempotencia = azonos hatványúság elnevezés. (H∩H = H is idempotens)

Idempotencia
S halmazon ○ műveletet, akkor hívjuk idempotensnek, ha minden a (∈S)-ra:
a ○ a = a
A művelet tulajdonsága logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∀a (a ○ a = a)
idempotens (latin) = azonos hatványú

in
latin eredetű elöljárószó, jelentése: -ba, -be (pl: injektív leképzés)

(Az) integrálszámítás szabályai
∫k f(x) dx = k∫f(x)dx
∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx

Invertálhatóság
Ha a,b(∈S)-re:
x ○ a = b      a ○ y = b
egyenleteknek mindig van megoldása, akkor hívjuk invertálhatónak a ○ műveletet.
Invertálhatóság logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∀a ∀b ∃x ∃y (x ○ a = b ∧ a ○ y = b)

Inverz elem
Ha az (S; ○) struktúrának van neutrális eleme, és az a(∈S) elemhez van olyan a'(∈S) elem, amelyre:
a' ○ a = a ○ a' = u
, akkor a'-t az a inverz elemének hívjuk a ○ műveletre nézve.
Az inverz elem létezése logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∃a' (a' ○ a = u ∧ a ○ a' = u)

Irracionális számok halmaza
Olyan számok halmaza, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Az irracionális számok halmaza nem megszámlálhatóan végtelen (azaz kontinuum) számosságú.
Érdekesség, hogy ha az irracionális között a négy alapműveletet végezzük, akkor racionális számokat is kaphatunk eredményül.
pl: √¯3 - √¯3 = 0, √¯3 · √¯3 = 3,...
Sőt a π és az e szám nem csak irracionális, hanem transzcendens is, (azaz nem gyökei egész, v. racionális együtthatós polinomnak)
Jele a Q.

Ismétlés nélküli permutáció
Ha az elemek mind különbözőek, akkor beszélünk ismétlés nélküli permutációról, n( ≥ 0) elemű halmaz permutációinak a száma:
Pn = n!
(Tehát n különböző elem n ! féleképpen rendezhető sorba)
Pl.
-két elem összes lehetséges permutációi:
xy, yz → Pn = P! = 1 · 2 = 2
-háromé:
xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx     Pn = 3! = 1 · 2 · 3 = 6

Ismétléses permutáció
Ha a permutálandó elemek között ismétlődők is vannak, akkor ismétléses permutációról beszélünk.
Az ismétléses permutációk száma
Pn(k1,k2, ... ,kr) = n! / k1! · k2! · ... · kr!




Kapcsolati háló
A hálózatok matematikai jellegzetességei az emberek közötti kapcsolatoknál is megjelennek, és sokkal jobban irányítják az életünket mint gondolnánk. Azt gondoljuk magunkról, hogy önálló személyiségek vagyunk, így önállóan dönthetünk arról, hogy mit akarunk csinálni. De a felmérések azt mutatják, hogy (pl.) ha boldog emberek között élünk, akkor mi is boldogabbnak érezzük magunkat, még ha szomorúak között, akkor megnől az esélye annak, hogy mi is depressziósak legyünk.
A kapcsolataink hatása - csökkenő mértékben - három lépésre nyúlik. Pl. ha valaki sikeresen lefogy, akkor a barátnője is nagyobb valószínűséggel fog lefogyni, vagy ha segíteni akarunk a társunknak a lefogyáshoz, akkor olyanok társaságát keressük, akik sikeresen lefogytak (második szintű ismerősök), ...

Keith Devlin
Keith Devlin a matematikát úgy határozza meg, hogy az "a tökéletes mintázatokat kutatja".

Kettővel oszthatóság
Minden c természetes szám felírható
c = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 102 + a1 ∙ 10 + ao
alakban, ezt átrendezve:
c = (an ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 10 + a1) ∙ 10 + ao
alakúra, látható, hogy igaz a következő tétel:
Egy szám akkor és csak akkor osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye osztható 2-vel
(mert a 10 osztható 2-vel, így csak az utolsó számjegy érdekes: 0, 2, 4, 6, 8)

Kiemelés
(A "disztributivitás fordítottja")
ab + ac = a · (b + c)
Ha van közös tag (itt: a) azt kiemelhetem, és megtartom az előjeleket (v. műveleti jeleket)

Kilenccel oszthatóság
Minden c természetes szám felírható
c = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 102 + a1 ∙ 10 + ao
alakban
, mivel 10k-1 mindig osztható 9-cel, mert 10k-1 az olyan szám, amely   k   számú    9-esből áll, ezért c-t írjuk át a következő alakba:
c = [an(10n-1) + an-1(10n-1-1) + ... + a2(102-1) + a1(10 - 1)] + (an + an-1 + ... + a2 + a1+ ao)
(mert ha pl. an-t kivonok, akkor az utolsó zárójelben hozzá is kell adni, hogy ne változzon az eredményem)
A szögletes zárójelben minden tag osztható 9-cel, tehát az összegük is (így a 9-cel való oszthatóság az utolsó zárójeltől függ)
, ha az utolsó zárójelben található számjegyek összege (is) osztható 9-cel, akkor a számunk osztható 9-cel (mert akkor minden tag osztható 9-cel, tehát az összegük is), így a tétel:
Egy szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek az összege osztható 9-cel.

Kivonás
8 - 5 = 3
a - b = c
a = kisebbítendő
b = kivonandó
c = különbség

Klasszikus valószínűségi mező
A valószínűségszámítás kialakulásakor általában szerencsejátékokkal kapcsolatos valószínűségi problémákkal foglalkoztak, amikkel kapcsolatos valószínűségi kísérletek elemi eseményeinek a száma véges. Tehát E esemény algebra az Ω eseménytér összes részhalmazainak halmaza. Ha még azt is feltesszük, hogy mindegyik elemi esemény valószínűsége ugyanaz a szám, akkor hívjuk valószínűségi mezőnek.
Ezt azért tesszük fel, mert a kockák, érmék, ... teljesen szabályosak, így az egyik elemi eseményt sincs okunk megkülönböztetni a többitől (azaz elfogadjuk az elemi események szimmetriáját).

Klempelen Farkas
A sakkautomatát csak afféle játékszernek mondta, a beszélőgépet jelölte meg élete fő műveként. Elkészítéséhez sokáig tanulmányozta a beszélőszervek működését, a hangképzést. Közben rájött a fonetika máig is érvényes alapszabályaira. A beszélőgépét ~1780-ban sikerült megszólaltatnia. A tüdő helyett fújtató volt, a hangszalagok helyett sípok, a szájüreg tölcsér volt; kisgyerek féle hangon érthető mondatokat tudott vele alkotni.

Kolmogorov
A valószínűség matematikai fogalmát 1933-ban így adta meg:
Az Ω eseménytérnek legyen E egy eseményalgebrája (σ-algebrája). Az E-n értelmezett:
P : E → [0,1]   (A → P(A))
függvényt valószínűségnek (valószínűségi mértéknek) hívjuk, ha kielégíti a következő axiómákat:
I. 0 ≤ P(A) ≤ 1
II. P(Ω) = 1
III. P(A + B) = P(A) + P(B), feltéve, hogy AB = 0
Ha Ω számossága végtelen, akkor a III. helyett a következőt kötjük ki:
P(A1 + A2 + ... ) = P(A1) + P(A2) + ... , feltéve, hogy A1, A2, ... egymást páronként kizáró események.

Kombinatorika:
A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik, vizsgálatai függetlenek a halmazok elemeinek a mibenlététől. Feladata annak a megállapítása, hogy egy véges halmaz elemeit, hogyan és hányféleképpen lehet csoportosítani.
A kombinatorika sok eredményét felhasználjuk a matematika több területén is, és más tudományokban is.
A csoportok elemeit az ábécé betűivel, pozitív egész számjegyekkel, vagy indexelt betűkkel jelöljük.
A kombinatorika alapfogalmai:
- permutáció
- variáció
- kombináció

Kommutatív
Pl:
a + b = b + a
a · b = b · a
(Az összeadásnál, és a szorzásnál a változók sorrendje felcserélhető)

Kommutativitás
S halmazon ○ műveletet, akkor hívjuk kommutatívnak, ha minden a,b (∈S)-re:
a ○ b = b ○ a
A művelet tulajdonsága logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∀a ∀b (a ○ b = b ○ a)
kommutatív (latin) = felcserélhető

Komplex szám abszolút értéke
Komplex szám abszolút értéke a komplex szám síkvektorának a hossza:
z∣ = √¯(a2 + b2)
Komplex szám síkvektorának az irányszöge
(Tehát a síkvektor és a valós számegyenes pozitív szára által bezárt szög) pedig:
φ = arc tg b/a

Komplex szám alakjai
- komplex szám algebrai alakja:
z = x + iy
z komplex szám valós része: x = Re(z)
imaginárius része pedig y = Im(z)
(Komplex számokhoz rendelt - a vektorokhoz hasonló irányított egyenes szakaszokat hívjuk fázoroknak)
- komplex szám trigonometriai alakja:
z = r(cos φ + i szin φ)
r = |z|= abszolút értéke (modulus)
φ = argumentuma (szög)
(r = |z| = √¯(x2 + y2)
φ = arg z)
Két komplex szám akkor egyenlő, ha valós és képzetes részük is egyenlő.
z = x + iy komlex szám konjugáltja: z* = x - iy
- z = r(cos φ + i sin φ) komplex szám exponenciális alakja:
z = rei φ
- A trigonometriai és az exponenciális közötti összefüggés:
rei φ = r(cos φ + i sin φ)
- Euler-formula:
ei φ = cos φ + i sin φ

Komplex számok
A komplex számokat a valós számok bővítésével kapjuk. A matematikusok boldogságához még hiányzott az, hogy nem tudtak negatív számból gyököt vonni. Erre lett megoldás az imaginárius szám (együttható) bevezetése:
i = √¯-1 (másként i2 = -1) Ekkor már megoldható pl. a √¯-9 kifejezés is, amelynek megoldása a komplex számok halmazán 3i (√¯-9 = √¯-1√¯9 = 3i)
A komplex számok halmazának a jele: C (complex)
A komplex szám felépítése:
z = a + bi
a: a komplex szám valós része, Re z-vel jelöljük (tehát a egy valós szám)
b: a komplex szám imaginárius része jele: Im z (érdekesség, hogy amit imaginárius résznek hívunk, az egy valós szám)
i: imaginárius (képzetes) egység (i = √¯-1)
A   z = a + bi   komplex szám ábrázolásakor az x tengelyre veszem fel "a" értékét, az y tengelyre "bi"-t. Tehát a komplex szám a (kétdimenziós) sík egy vektorának feleltethető meg.

Kör
K = 2rπ
K = kerület
r = sugár
π = 3,14 ...
T = r2π
T = terület
r = sugár
π = 3,14 ...
Egyenlete
x2 + y2 = r2 ha a kör középpontja az origó
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
K(a, b): a kör középpontja
x, y: a középpontjától való eltérést mutatják
r: a kör sugara

(A) kör
A kör (körvonal) a sík azon pontjainak a halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától (középpont) adott távolságra (sugár) vannak.

Körcikk
A két sugár és egy ív által határolt síkidomot hívjuk körcikknek (szektornak)

Körgyűrű
Két koncentrikus kör közé eső sík részt hívjuk körgyűrűnek.

Körív
A körvonalat bármely két pontja két összefüggő részre vágja (osztja) A körvonal két pontja közé eső vonaldarab az ív (körív)
Jele: i
Jelölni a végpontoknak megfelelő betűk fölé tett ívvel szoktuk (⌒), pl:

AB, vagy az utánnuk írt ív szóval, pl: AB ív

Körlap
A körlap (körlemez) azon pontok halmaza, amelyek távolsága kisebb v. egyenlő a sugárral.

Körszelet
A körlapból a szelő által lemetszett részt hívjuk körszeletnek (szegmentumnak → segmentum)

Középértékek
- Számtani: x = (a + b) / 2
Pl: x = (1 + 3) / 2 = 2
x = (a1 + a2 + ... + an) / n
- mértani: x = √¯(a ∙ b)
Pl: x = √¯(9 ∙ 4) = √¯36 = 6
x = n√¯(a1 ∙ a2 ∙ ... ∙ an)
- (harmonikus: x = 2 ∙ a ∙ b / (a + b)
Pl: x = 2 ∙ 4 ∙ 6 / (4 + 6) = 4,8

Kubik
Királyi könyök (kubik) a piramisépítők által használt óegyiptomi hosszúsági mértékegység (52,4 cm körüli). Egy kubik 7 tenyérből állt, ezek mindegyike pedig 4 ujjra oszlott.

Kvaterniók
A kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő ... kiterjesztései → a + bi + cj + dk, ahol i2 = j2 = k2 = ijk = -1.
Vele (a tisztán képzetes résszel) leírható a háromdimenziós vektortér, így a robotok vezérlésére is használható.
Jele: H (felfedezője miatt Hamilton féle számoknak (is) hívjuk.)




Laplace-transzformáció jelentése
Def:
ℒ[f(t)] = F(s) = o f(t)e-stdt
jelentése: a t valós változó (pl: idő) f(t) függvényének a Laplance-transzformáltja ez az improprius integrál
- ℒ[f(t)]: mutatja, hogy az f(t) függvényhez tartozó Laplace-transzformáltat kell meghatároznunk.
- F(s): azt mutatja, hogy a transzformált függvény már nem az időtől (t) függ, hanem az s komplex változótól.
Tehát a Laplace-integrál az f(t) valós változójú függvényhez az F(s) komplex változójú függvényt rendeli.
- az s változó dimenzióját, és egységét az e-st kitevőjéből tudhatjuk meg:
[t] = s → [s] = 1 / s
tehát dim s = 1 / dim t
(dim = dimenzió)

Létezési kockázat
A Létezési Kockázat Vizsgáló Központban (Center for the Study of Existential Risk) az angol kutatók (Cambridge-i Egyetem) azt vizsgálják, hogy a számítógépek okosabbá válnak-e az embereknél, és átveszik-e a hatalmat a világ felett. Ehhez annyi is elég lenne, hogy a gépek folyamatosan terjeszkedjenek a Földön, és elvegyék azokat a természeti erőforrásokat, amelyek az élőlények túlélését biztosítják.

Logaritmikus spirális
A természetben - főleg a növényeknél - gyakran megfigyelhető logaritmikus spirális úgy tekeredik, hogy minden pontjának a középpontból mért távolsága (a sugár) egyre nő, s a görbe bármely pontjához húzott érintő a sugárral egy meghatározott α szöget zár be. (Az egyenes vonal és a kör határesete a logaritmikus spirálnak)
A napraforgótányér magvai pl. két ellenkező irányba tekeredő spirálsereget adnak ki. A tányéron a balra tekeredő spirálseregek száma úgy aránylik a jobbra tekeredő spirálok számához, mint két egymást követő Fibbonacci-szám.

Logaritmus
Ha a ab = c kifejezésből, b a keresett, azaz:
ax = c
Tehát ekkor azt szeretném tudni, hogy egy adott szám egy másik adott számnak a hányadik hatványa, ekkor a hatványalap kitevőjét, azaz a logaritmusát keresem.
(Pl: log3 9 = 2, mert 32 = 9)
Definíció:
ha ax = b, akkor x = logab (a alapú logaritmus b):
a alapú logaritmus b jelenti azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapjuk:
alogab = b
(a > b, a ≠ 1, b > 0, logab : valós szám)
A matematikusok megállapodtak arról, hogy a tízes alapú logaritmust log10b helyett, lg b -vel jelöljük.
A megállapodás szerint a (természetes) e-alapú logaritmust logeb helyett ln b -vel jelöljük (e az an = (1 + 1/n)n sorozat határértéke ennek értéke ≈ 2,7183 (irracionális szám))
Azonosságok:
loga (x ∙ y) = logax + logay (a > 0, a ≠ 1, y > 0)
loga (x/y) = logax - logay (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0)
loga (xn) = n ∙ logax (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0, n: valós szám)
más alapra való áttérés:
logab = (logcb)/(logca) (a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0, c > 0, c ≠ 1)

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze
"f(x) = logax" értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza, értékkészlete pedig a valósaké. Zérushelye az x = 1 helyen van. f(x) = 1 értékhez tartozó x érték adja meg az alapot.
Ha a > 1, akkor a függvény szigorúan monoton nő.
Ha 0 < a < 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken.

Logaritmus egységek
A logaritmus egységek definíciója:
logaa = 1 (az alapnak megfelelő logaritmus egység)
- kettes alapú: ld (logaritmus duó (duó = kettő))
ld 2 = 1 okt (oktáv)
- természetes alapú (e = 2,71828 ... irracionális szám): ln (logaritmus naturális)
lne = 1 Np (néper)
- tízes alapú: lg
lg 10 = 1 D (dekád)
- √¯10 alapú (visszavezethetjük tízes alapúra, ha a tízes alapú logaritmusát kettővel szorozzuk)
log(√¯10)(√¯10) = 1 B (bel)

Logaritmuskeresés
A logaritmuskeresés csak dimenzió nélküli számokra lehetséges, s a logaritmusok is dimenzió nélküli számok. (Ha a mennyiségeknek van dimenziójuk, akkor ezeket először "számokká kell alakítani", azaz el kell osztani egy alapul választott azonos dimenziójú mennyiséggel.)

Logika
A világos gondolkodásnak a mintázatait vizsgálja.




Markov-modell
Andrej Markov orosz matematikus XIX sz. végén alkotott valószínűség-számítási elmélete, amit az 1960-as évektől kezdtek a beszédfelismeréshez alkalmazni, majd a genetikához is.

Másodfokú egyenletek
ax2 + bx + c = 0
alakú egyenleteket nevezzük másodfokú egyenletnek, ha (a; b; c ∊ R, a ≠ 0)
(Nevét onnan kapta, hogy x a második hatványán szerepel benne.)

Másodfokú megoldóképletek
Az ax2 + bx + c = 0 alakú másodfokú egyenlet általános megoldóképlete
x1,2 = -b ±√¯(b2 - 4ac)
              2a
x2 + px + q = 0 alaknál:
x1,2 = -p/2 ±√¯((p/2)2 - q)

Matematika
Gyakorlati felhasználásakor a műszaki tudományokban lehet a legpontosabban számolni. Az élettelen anyag viselkedése jobban kiszámítható, mint az élő szervezeteké, vagy a társadalomé. A mérnökök a fizikai, anyagismereti tudásukkal, és a mérhető kiinduló paraméterekkel pontosan tudnak számolni. Azonban a tervezett lassan ható (statikus), és a hirtelen fellépő (dinamikus) erők mellett nehezen tervezhető erők is felléphetnek (földrengés, meteorológiai jelenségek,...)
De a társadalom is felmerülhet, mint bizonytalansági tényező, pl. a tervezők hiába szeretnének többszörös biztonsággal tervezni, az ár csökkentése, a profit szempontjai, a kivitelezők normaszegése ezt megakadályozhatja.
A matematikát a gazdaságtan és a pénzügyi gyakorlat széleskörűen alkalmazza az elméleti modellezésben, (itt a matematikai-statisztikai megközelítés általános, és teljeskörű) és mindennapi döntéshozatal szintjén is.

Matematika, és a természet
Sokan a matematikusokat újplatonistának mondják, mert az elvont fogalmaik hátterében valami létező rejlik akkor is, ha e fogalmaknak nincs kézzelfogható anyagi létük.
Már Galilei is azt mondta, hogy a természet könyve a matematika nyelvén íródott. Wigner Jenő pedig azt emelte ki, hogy a matematika mennyire hatékony eszköz a fizikai jelenségek leírására.
A matematikai fogalmak, a számok, a geometriai formák, a logikában szereplő kategóriák, mind gyakorlati problémáink megoldása során alkalmazott eszköztárból jöttek létre, elvonatkoztatással.
Még olyan tisztán matematikai problémák is, mint a prímszámok eloszlásával kapcsolatos számelméleti kutatásokból kinőtt Riemann-féle zéta-függvény fogalomról is kiderült, hogy vele le lehet írni statisztikus fizikai jelenségeket.

Matematika fontossága
Napjainkban egyre fontosabbá válik a matematika. Ez egy kényszer, hogy fejlesszük a matek tudásunk: gondoljunk csak a számítástechnika gyors fejlődésére, az internet elterjedésére, még a biológiában, s a közgazdaságtudományokban is nélkülözhetetlenné vált. Külön kiemelhetjük a fizikával, csillagászattal, s a műszaki tudományokkal való szoros kapcsolatát. Így megállapíthatjuk, hogy a matematika nélkül nem lenne a fejlett tudományunk, tehát a kényelmünk, internetünk, ... sem. Arra a kérdésre, hogy miért ennyire meghatározó a matematika szerepe, legtöbben az absztrakcióját nevezik meg.

Matematikai problémák
Matematikai problémákat pl. így is csoportosíthatjuk:
-biztosan megoldható v. megoldott
-nehezen megoldhatók
-lehetséges, hogy megoldhatók
-mai tudásunk szerint nem megoldhatók

Mintázatok
A mintázatokat mindenhol felfedezhetjük, a fizikai Univerzumban, az élővilágban, a saját tudatunkban, ...
Ezt a láthatatlant jeleníti meg a matematika, mint a mintázatok tudománya.

Monom
egytagú algebrai kifejezések (pl: 7xyz)

Műveletek sorrendje
1.) Hatványozás
2.) Szorzás, osztás
3.) Összeadás, kivonás
(A zárójelek módosíthatják a műveletek elvégzésének a sorrendjét)
(ha csak pl. összeadásunk, és kivonásunk van, akkor balról jobbra haladunk)




Nash
John Forbes Nash 1947-ben kezdett matematikát tanulni a Princeton Egyetemen. Sem pénze, sem előző iskolai múltja sem volt ahhoz, hogy bekerüljön az elit diákok közé. De sem ez, sem az órák látogatása nem érdekelte. Csak az isteni szikrára várt, hogy bebizonyítsa zsenijét. Ez meg is történt, amikor megírta dolgozatát a versengés matematikájáról.

Nemteljességi tétel
Gödel (1931): Minden axióma (alapszabály) rendszer alapján meg lehet fogalmazni olyan állítást, amely az adott szabályrendszer keretei között nem eldönthető: nem bizonyítható, se nem cáfolható.
Ennek következménye: ha egy matematikai állítás, sejtés igaz is, az még nem jelenti azt, hogy az axiómarendszeren belül bebizonyítható is.

Neumann-architektúra
A mai számítástechnika(2012) ezen alapul, azaz a feladat megoldását valamilyen algoritmusra vezetjük vissza. A számítógép az algoritmusban szereplő műveleteket egymás után oldja meg, (s közben felhasználja a részeredményeket is.)

Néggyel oszthatóság
Minden természetes szám felírható
c = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 102 + a1 ∙ 10 + ao
alakban, ezt átrendezve:
c = (an ∙ 10n-2 + ... + a3 ∙ 10 + a2) ∙ 102 + (a1 ∙ 10 + ao)
alakúra, látható, hogy igaz a következő tétel:
Egy szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye osztható 4-gyel
(mert 102 (azaz 100) osztható 4-gyel, így csak az utolsó két számjegy érdekes)

Neumann János
Kevesen tudják, hogy nem csak a számítógép megépítésével alkotott maradandót, hanem már 1932-ben megírta a kvantummechanika matematikai alapjait, ahol már tapasztalatokat szerzett a véletlen folyamatok és a sokváltozós statisztikai sokaságok kezeléséről. Ezután belekezdett a légköri folyamatok számítógépes előrejelzésébe. 1950-ben megírták a barotropikus örvényességi egyenlet numerikus integrálásáról szóló cikket, s ekkor kiderült, hogy milyen kevés adat áll rendelkezésre a légmozgásokról.

neutrális elem
Ha az (S; ○) strukturának van olyan u eleme hogy minden a(∈S)-ra
u ○ a = a ○ u = a
, akkor u-t neutrális elemnek hívjuk.
A neutrális elem létezése logikai jelekkel, ha S az Univerzum:
∃u ∀a (u ○ a = a ○ u = a)
neutrális (latin) = semleges

Nevezetes azonosságok
(ha ismerjük ezeket, és jól tudjuk használni, akkor sok munkát takaríthatunk meg velük)

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2+ 2ab + b2
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b) (a2 - 2 ab + b2) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3- b3 = (a - b) (a2+ ab + b2)

Normált alak
a másodfokú egyenlet x2 + px + q = 0 alakú megadását a másodfokú egyenlet normált alakjának nevezzük.




Nyitott mondat
Egyenletek, egyenlőtlenségek.




Objektumok
dolgok

Origó
A középpont jele az: O(Origó)

Osztás
10 : 2 = 5
  a : b = c
a = osztandó
b = osztó
c = hányados




Önhasonlóság
Mi általában szabályos, egyszerű formákat készítünk, ez azonban sem az élő, sem az élettelen természetre nem jellemző. A természetre inkább a sok kis részlet, az adott szabályszerűség szerint ismétlődő mintázat a jellemző. Például, ha egy távoli fakoronát közelről, kisebb részleteiben is megnézzük, akkor általában hasonlóságot látunk. Ezt hívjuk önhasonlóságnak, ez jellemző a tipikus fraktálokra. A természet olyan látszólag távoli jelenségei, mint pl. a hópelyhek, a baktérium telepek, az ásványi lerakódások, ... növekedése a keletkezésüket leíró egyenleteken keresztül kapcsolatba hozhatóak.

Összeadás
2 + 3 = 5
a + b = c
a = tag
b = tag
c = összeg

Összegek felírása
  n
 Σ f(xi) = f(xk) + f (xk + 1) + ... + f(xn)
i = k

Öttel oszthatóság
Minden c természetes szám felírható
c = an ∙ 10n + an-1 ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 102 + a1 ∙ 10 + ao
alakban, ezt átrendezve:
c = (an ∙ 10n-1 + ... + a2 ∙ 10 + a1) ∙ 10 + ao
alakúra, látható, hogy igaz a következő tétel:
Egy szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható 5-tel
(mert 10 osztható 5-tel, így csak az utolsó számjegy érdekes: 0, 5)




Paradoxonok
Már az ókori görögök is ismerték. Lényegében minden paradoxon mögött az az állítás van, hogy:
Ez a mondat hamis.
Erről tudjuk, hogy ez sem igaz, sem hamis nem lehet.
Ha ugyanis igaz lenne, akkor tartalma szerint kellene hamisnak lennie. Ha viszont hamis lenne, akkor nem lenne igaz amit állít, azaz mégis csak igaznak kellene lennie.

Pell-féle egyenletek
x2 - dy2 = 1    (d > 1, d ≠ a2) alakú diofantoszi egyenletet hívjuk Pell-féle egyenletnek. Bizonyítható, hogy minden ilyen egyenletnek végtelen sok megoldása van, és geometriailag egy hiberbolát jelent.

Permutáció
A H halmaz önmagára való kölcsönösen egyértelmű (azaz önmagára való bijektív) leképezését permutációnak hívjuk.
Azaz ha n számú elemet minden lehetséges módon sorba állítunk, akkor az illető elemeket permutáljuk, az egyes elrendezéseket pedig az elemek permutációinak hívjuk.

Pénzügyi algoritmusok
A számítógépek által generált pénzügyi instrumentumok nem valóságos termékkészleteken, piaci részesedéseken alapulnak, és olyan bolyolultak, hogy csak számítógépek képesek kezelni ezeket e bonyolult strukturákat. Ezek által okozott válság több billió dolláros kárt okozott.
Remélhetőleg ez idejében jött figyelmeztetés az emberiségnek, hogy ne hozza magát annyira függő helyzetbe a gépektől, ami már egyáltalán nem lesz praktikus. Ha nem tanul belőle, akkor kénytelen lesz alávetni magát a gépek minden döntésének, mert nem tudja lekapcsolni őket, a nagy függősége miatt.

PISA
Az OECD matematikából, természettudományból és szövegértésből méri fel a diákok teljesítményét. (PISA=Nemzetközi Diákértékelési Program).
Legutóbb a magyar diákok átlagos eredményt értek el.

π
A π értéke a kör kerületének és az átmérőjének a hányadosa: (3,14159265...) irracionális és transzcendens szám. Neve a perimetosz (görög: kerület) első betűje (pi).

Pitagoraszi háromszögek
Az x2 + y2 = z2 alakú diofantoszi egyenletek megoldásait pitagoraszi számhármasoknak hívjuk. Ennek az egyenletnek eleget tevő pozitív számokkal - mint oldalhosszakkal - derékszögű háromszög szerkeszthető. Ezeket a háromszögeket hívjuk pitagoraszi háromszögeknek.

Polinom
többtagú algebrai kifejezések pl: (x4 + 3x - 10)

Polinom foka
az algebrai kifejezésekben előforduló legmagasabb kitevő

(Néhány függvény) primitív függvénye
∫k dx = kx + C
∫xndx = xn+1/n+1 + C
∫1/x · dx = ln(x) + C
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫1/cos2x · dx = tgx + C
∫1/sin2x · dx = ctgx + C
∫chx dx = shx + C
∫ dx = ax/lna + C
∫ex dx = ex + C

Predikátum
predikátum = nyitott mondat

Prímszámok
Bővebben először a pitagoreusok foglalkoztak velük. Ahogyan a fizika építőelemei a szubatomi részecskék, a kémiáé a vegyi elemek ugyanúgy az egész számoké pedig a prímek.
A prímszám v. törzsszám olyan pozitív egész szám, amelynek pontosan két pozitív osztója van. Valamennyi egynél nagyobb szám az vagy prím vagy összetett (kompozit) szám.
1: nem prím (pedig sokáig annak hitték) mert csak egyetlen osztója van: önmaga.
2: a legkisebb prímszám, az egyetlen páros prím.
A számelmélet alaptétele: minden természetes szám felírható prímszámok szorzataként (kanonikus alak)
Azt már az alexandriai Euklidesz bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van.
Eratosztenész-szitája egy egyszerű módszert adott a prímszámok megkeresésére. A prímszámokra máig sem találtunk zárt képletet (eljárást).
A prímek szabálytalanul helyezkednek el a természetes számok halmazában, pl. 1000-ig 168 darabot találhatunk belőlük: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43, ...
Két prím összegére való felbontás (partíció) általában többféle módon is lehetséges, pl:
120 = 7 + 113 = 11 + 109 = 41 + 79 = 47 + 73 = ...

Priori
Turing (ő fejtette meg a német Enigma-kódot) állítása szerint "priori" (előzetesen) nem dönthető el, hogy egy matematikai sejtés (v állítás) bebizonyítható-e, vagy nem.




R gyűrű
R gyűrű - pontosabban (R; +, ∙) gyűrű - ha:
- R nem üres halmaz
- az összeadás művelete kommutatív, asszociatív, és invertálható
- a szorzás művelete asszociatív, és az összeadásra nézve - mindkét oldalról - disztributív.

Racionális számok
Az egész számok hányadosaként felírható számokra (a/b, ahol b ≠ 0) bővült az egész számok halmaza, a mérésekkel fellépő igények hatására.
A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú.
Jele a Q (quotient = hányados).

Radián
A sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög az 1 radián. Mivel a teljes kör 2 π radián, ebből:
1 radián = 360°/2π = 57° 17' 45" ≈ 57,3°

Részhalmaz
Definíció:
A H halmaz B halmaznak részhalmaza (része) ha H minden eleme K-nak is eleme.
Jelölése: H ⊆ B     v.     B ⊇ H
A definíció szerint minden halmaz részhalmaza önmagának. Az üres halmaz minden halmaznak a részhalmaza, azaz
H ⊇ H,   H⊇ ø
Ezért nem üres halmazoknak legalább két részhalmaza van (a H halmaz, és az üres halmaz). Ezek H triviális részhalmazai, a H halmaz minden más részhalmazát H nem triviális részhalmazának hívjuk.




Síkbeli analitikus geometria
A síkbeli analitikus geometriánál az univerzum (az alaphalmaz) a rendezett valós számpárok halmaza.

Síkgeometria
A síkgeometriai vizsgálatoknál az univerzum (az alaphalmaz) a sík pontjainak a halmaza.

"Skálafüggetlen" gráf
Az internet hiperlinkjeinek (a weboldalak közötti egérkattintással történő átjárást biztosítja) a szerkezetét vizsgálva Barabási Albert-László rájött, hogy a világháló nem az Erdős-Rényi féle véletlen hálózatot, hanem egy "skálafüggetlen" hálózatot alkot. Ennél a gráfnál gyakoribbak az átlagosnál jóval több kapcsolattal rendelkező pontok. A hálózatba kerülő újabb pontok "sznobok", azaz nagyobb valószínűséggel lépnek kapcsolatba az eleve népszerűbb pontokkal.
(De így működik a világ légiközlekedési hálózata is, pl. az új járatok gyakrabban létesülnek a forgalmasabb repülőterek között).

STEM
STEM: Science, Technology, Engineering, Mathematics (= Tudomány, Technológia, Műszaki tudományok, Matematika)

Sugár
A sugár (sugárhossz) a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz
Jele: r (rádiusz)

sur
latin eredetű elöljárószó, jelentése: -ra, -re (pl: szürjektív leképzés)




Szám
A szám a mennyiségek leírására használatos matematikai fogalom. A számokon - ha mást nem jelzünk, akkor - valós számokat értünk.

Számelmélet alaptétele
Bármely 1-nél nagyobb pozitív egész szám egyértelműen írható fel prímszámok szorzataként (ha a sorrendet nem vesszük figyelembe)..

Számelméleti függvények
A nem zérus természetes számok halmazán értelmezett függvényeket számelméleti függvényeknek hívjuk.

Számhalmazok:
A számhalmaz (v. számtartomány) - mint a neve is mutatja - számokból álló halmaz.
Az emberiség fejlődésével egyre bonyolultabb dolgokat kellett számokkal kifejezni, s ez kikényszerítette a számhalmazok bővítését (is):
N: Természetes számok = 0, 1, 2, 3, ...
Z: Egész számok = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Q: Racionális számok = felírhatóak két egész szám hányadosaként
Q: Irracionális számok = nem írhatók fel két egész szám hányadosaként
R: Valós számok = Q + Q
C: Komplex számok: z = a + bi (ahol i = √¯-1)
H: Kvaterniók: a komplex számok négy dimenzióra történő kiterjesztései
Hiperkomplex számok: (nyolc dimenzióra történő kiterjesztés)

Számjegyek meghatározása
Először nézzük meg egy adott természetes szám számjegyeinek a tízes számrendszerben történő meghatározását:
Pl: 3071
Osszuk el a 3071-et tízzel a maradék 1, a hányados 307,
ezt elosztjuk tízzel:
a maradék 7; a hányados 30
Ezt elosztjuk tízzel, a maradék 0, a hányados
3
ezt osszuk el tízzel, a maradék 3, a hányados
0
Tehát a maradékos osztások egymásutánjakor a maradékok adják az adott szám számjegyeit jobbról balra, az egyest, a tízest, a százast, ...
bizonyítható, hogy ez tetszőleges alapú számrendszerekre is igaz, azaz minden
(c > 0) természetes szám felírható
c = an ∙ fn + an-1 ∙ fn-1 + ...+ a2 ∙ f2 + a1 ∙ f + ao (an > 0)
alakban
(az f alapú számrendszerben f darab számjegyre van szükségünk)
Pl   64   az f = 3-as alapú számrendszerbe ezzel a módszerrel átírható:
64 : 3 = 3 ∙ 21 + 1
21 : 3 = 3 ∙ 7 + 0
7 : 3 = 3 ∙ 2 + 1
2 : 3 = 3 ∙ 0 + 2
6410 = 2 ∙ 33 + 1 ∙ 32 + 0 ∙ 31 + 1 ∙ 3o = 21013 (Tehát a maradékok itt is megadták a megoldást)
A fordított feladat (egy f alapú számrendszerből a tízes alapúba történő átszámítás) jóval egyszerűbb, mert itt az adott számot egyszerűen az értelmezés szerint felírjuk, majd a hatványokat, a szorzatokat, és az összeget kiszámítva már meg is kaptuk a számot a tízes számrendszerünkben, pl:
23023 = 2 ∙ 33 + 3 ∙ 32 + 0 ∙ 3 + 2 ∙ 3o = 2 ∙ 27 + 3 ∙ 9 + 0 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 54 + 27 + 0 + 2 = 8310

Számosság
Halmazok számossága: ha a halmaz elemeinek száma véges, akkor a halmazt végesnek (ide vesszük az üres halmazt is) mondjuk. (ellenkező esetben pedig végtelennek)
Ha két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, akkor a két halmaz számossága egyenlő, a két halmaz ekvivalens. Pl. megszámlálhatónak (megszámlálhatóan végtelennek) mondjuk a természetes számok halmazának, és a vele ekvivalens halmazoknak a számosságát. A valós számok halmazának, és a vele ekvivalens halmazoknak a számosságát pedig nem megszámlálhatónak (azaz kontinuum számosságúnak)

Számtani sorozat
an = an-1 + d
an = a1 + (n - 1)d
Sn = (n/2)(a1 + an)
Sn = (n/2)(2a1 + (n -1)d)

an: a számtani sorozat n-edik tagja(eleme)
an-1: a számtani sorozat (n-1)-edik eleme(tagja)
a1: a számtani sorozat első eleme(tagja)
d: a számtani sorozat különbsége(differenciája)
Sn: számtani sor összege

Szelő
A körvonalat két pontban (M1, M2) metsző egyenest szelőnek (s) hívjuk.

Szorzatok felírása
  n
 Π f(xi) = f(xk) ∙ f(xk + 1) ∙ ... ∙ f(xn)
i = k

Szorzás
2 · 3 = 6
a · b = c
a = tényező
b = tényező
c = szorzat




T test
T test - pontosabban (T; +, ∙) algebrai struktúra test -, ha:
- T legalább kételemű halmaz
- T-ben két művelet van értelmezve, az összeadás és a szorzás
- az összeadás kommutatív
- az összeadás asszociatív
- az összeadás invertálható
- a szorzás kommutatív
- a szorzás asszociatív
- a szorzás az összeadásra nézve disztributív
- T ∖ {0} - ban a szorzás invertálható.

Taylor-sor
A differenciálszámítás egyik legfontosabb tétele, a Taylor-tétel szerint:
ha az f(x) függvény akárhányszor differenciálható, akkor bizonyos feltételek teljesülése esetén, konvergens, végtelen sorba fejthető. Ez azt jelenti, hogy - ennek a függvényhez tartozó sornak - az összege egyenlő a függvény értékével, és ezt hívjuk a függvény Taylor-sorának. Pl. az ex, szin x, cos x függvények Taylor-sora:
ex = 1 + x + (x2/2!) + (x3/3!) + ...
sin x = x - (x3/3!) + (x5/5!) - (x7/7!) + (x9/9!) + ...
cos x = 1 - (x2/2!) + (x4/4!) - (x6/6!) + (x8/8!) + ...

Térgeometria
A térgeometriai vizsgálatoknál az univerzum (az alaphalmaz) a tér pontjainak a halmaza.

Természetes számok halmaza
A legismertebb számok a pozitív egészek { 1; 2; 3; ... }, s az emberiség történelme folyamán ezek is alakultak ki legkorábban. Az ó-indiaiak kezdték használni a nullát, amellyel a semennyit jelölték, s ami nélkül nem lenne helyiértékes számírás sem. (pedig pl. 1 és 1000 mennyire különböző mennyiség). A számjegyeket az arab számjegyekkel ábrázoljuk. Magyarországon a matematikusok abban állapodtak meg, hogy a nulla is a természetes számok közé tartozik (vannak országok ahol nem). A természetes számok halmazának végtelen számú eleme van (ez a legkisebb számosságú végtelen halmaz).
Természetes számok jele (naturalis, azaz "természetes" szó alapján): N: { 0; 1; 2; 3; ... } (számok tartoznak a halmazába).

Természettudományok
A természettudományokhoz tartozik: matematika, fizika, csillagászat, kémia, biológia, földrajz, geológia, meteorológia ,de ennél tágabb értelmezése is lehet.

Thomas Bayes
A XVIII. században élt angol matematikus valószínűség-elméleti munkáit csak most, a számítógépek fejlődésével fedezték fel a matematikai statisztikusok. A Big Datából történő adatbányászatban kulcsszerepet játszanak a múltbeli tényekből kiinduló, a jelen idejű változásokkal folyamatosan frissített feltételes valószínűségre alapozó algoritmusok.

Törtszámok
1/2; 1 ¾; 0,25
Törtszámnak nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát.
Ezt többnyire a/b alakban írjuk fel (b ≠ 0), v. vegyes törtszámként, v. tizedestört alakban. Egy törtszámot végtelen sok alakban írhatunk fel pl:
...3/9 = 2/6 = 1/3 A legegyszerűbb alak, azaz a tovább nem egyszerűsíthető akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. A tizedestört alakja véges, vagy végtelen szakaszos (egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik) tizedestört.
Két tört szám (hányados) (a/b és c/d) akkor, és csak akkor egyenlő, ha   ad = bc
Minden pozitív törtszám felírható véges sok egész reciprokának az összegeként pl:   5/9 = 1/2 + 1/27 + 1/54
A hányadosokat a (latin quotiens szóból) Q betűvel jelöljük.
Hányadosok halmazának megadása Q = {m/n: m∈z, n∈z, n ≠ 0}
(n ≠ 0, mert 0/0-nak végtelen megoldása volna, m/0-nak pedig nem lenne megoldása)

Transzcendens szám
Transzcendens számnak az olyan valós v. komplex számot hívjuk, amely nem gyöke egyetlen racionális együtthatójú algebrai egyenletnek sem. Pl: π, e (a természetes logaritmus alapja).

Transzformáció
Egy H halmaz önmagába való leképzését transzformációnak nevezzük.

Triat
(A gömböc után) az új magyar geometriai találmány egy olyan homogén test, amelynek egy stabil, és egy instabil helyzete van, és összesen négy gömb- és hengerfelületből áll. Ezzel a - Gömböc után - megint bizonyítani tudtuk, hogy létezik olyan homogén test, amelynek négynél kevesebb egyensúlyi pontja van (Vlagyimir Igorjevics Arnold sejtése). Vajnai mérnök találmánya az első olyan, amelyik teljesen elemi gömb- és hengerfelületekből áll össze.




Univerzum
Mindig feltételezzük, hogy a vizsgált H, B, C, ... halmazok egy adott U halmaz részhalmazai. Ezt az U halmazt nevezzük univerzumnak (alaphalmaznak).
Az U alaphalmazt téglalappal ábrázoljuk, a H, A, ... részhalmazokat pedig zárt görbékkel. Ha nem lehet belőle félreértés, akkor az alaphalmazt nem kell feltüntetni.
Pl. a síkgeometriában az univerzum a sík pontjainak a halmaza.




Üreshalmaz
Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üreshalmaznak nevezzük.
Jele: ø




Valódi részhalmaz
Definíció:
Ha H ⊆ B és H ≠ B, akkor H-t a B valódi részhalmazának nevezzük.
Jele:
H ⊂ B

Valós szám abszolút értéke
Az a valós szám abszolút értéke:
1) a   ha   a ≥ 0 (azaz maga a szám)
2) -a   ha  a < 0 (azaz az ellentetje)
jele: ∣a∣

Valós számok
A Racionális számok (Q) + az Irracionális számok (Q) halmazát együttesen a Valós számok halmazának nevezzük. (másként: a Racionális számok halmazát, az Irracionális számok halmazával bővítve kapjuk a Valós számok halmazát)
Jele: R (a latin real = valós(ágos))
A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

Valószínűség ÉT
A matematikai valószínűség (P) értelmezési tartománya: 0 ≤ P ≤ 1

Valószínűségi mező
Def: Ω eseménytérrel, E eseményalgebrával (σ-algebrával) és P valószínűséggel adott (Q, E, P) hármast valószínűségi mezőnek hívjuk.

Valószínűségszámítás
A véletlen jelenségek mintázatait vizsgálja.

Vektoralgebra
A vektoralgebra a vektorokon végezhető műveletekkel, s azok tulajdonságainak a vizsgálatával foglalkozik.

Véletlen gráfok
Az olyan bonyolult hálózatokat, mint az agy, vagy az internet először az Erdős Pál és Rényi Alfréd által felfedezett véletlen gráfokkal próbálták leírni. Ezek olyan hálózatok, amelyeknél a csúcsok közé véletlenszerűen kerülnek élek. A megjelenő élek egy darabig kis szigetekre osztják a gráfot, majd hirtelen, néhány lépés alatt nagy hálózattá kapcsolódnak. Ezt a fázisátalakulásnak nevezett matematikai modellt a fizikusok nagyon kedvelik, mert pl. a víz jéggé fagyását, ... pontosan leírja.

Venn-diagramok
Halmazokat sokszor ábrákkal (körlapokkal, téglalapokkal, ...), a halmaz elemeit pedig pontokkal (v. valamilyen résztartománnyal) ábrázoljuk. Ezeket az ábrákat hívjuk Venn-diagramoknak.

Viéte-formulák:
Ezek a polinomok gyökei, és együtthatói közötti összefüggések.
Másodfokú egyenleteknél:
x1 + x2 = -b/a      x1 · x2 = c/a

Villanások
Barabási Albert-László hálózatkutató Villanások könyve: hogy az egyes emberek mikor mit csinálnak, annak az idősorai nem véletlenek, nem követik az ún. Poisson-eloszlást, hanem csomósodások vannak bennük (pl. telefonáláskor sokáig semmit sem beszélünk, majd jön egy aktívabb időszak, ...)
Ez nem annyira véletlenszerű, a hatványfüggvények matematikájával leírható. Ez úgy nyilvánul meg, hogy villanások vannak a jelekben: rövid időszakokban nagyon erős az aktivitás, ezután pedig szinte semmi sem történik. Idősoros vizsgálatokban kiderült, hogy a természeti és társadalmi rendszerekben belül ez univerzális tulajdonság (de sok ember viselkedése már véletlenszerűnek tűnik). (Úgy tudják, hogy Szócska Miklós is ezt az elméletet használta az egészségügy átszervezésére).
(hvg.hu, 2015.02.25)




y
= yokto- SI-prefixum jele (10-24 = kvadrilliomod)




z
= zepto- SI-prefixum jele (10-21 = trilliárdod)
Zárójelek felbontása
Ha a zárójel előtt + jel áll, akkor a zárójel elhagyható, s az előjelek maradnak (nem változnak).
Ha a zárójel előtt - jel van, akkor a zárójel elhagyásakor minden tag előjelét ellentétesre kell változtatnunk.











vissza a lap tetejére



vissza a nyitóoldalra

for sale:
A Maglódi Nagyhídnál
12000m2-es terület ...
bővebben ✈